Номер 0.1, страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.1. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \frac{2x-3}{x+4} - \frac{x+4}{2x-3};$

2) $f(x) = \sqrt{x+1};$

3) $f(x) = \sqrt{|x|+1};$

4) $f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x+2}.$

1) Область определения функции $f(x) = \frac{2x-3}{x+4} - \frac{x+4}{2x-3}$ находится из условия, что знаменатели дробей не должны быть равны нулю. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x+4 \neq 0 \\ 2x-3 \neq 0 \end{cases}$

Решая эти неравенства, получаем:

$\begin{cases} x \neq -4 \\ x \neq \frac{3}{2} \end{cases}$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-4$ и $1.5$. В виде объединения интервалов это записывается как $(-\infty; -4) \cup (-4; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (-4; 1.5) \cup (1.5; +\infty)$

2) Для функции $f(x) = \sqrt{x+1}$ выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.

$x+1 \ge 0$

Решая это неравенство, получаем:

$x \ge -1$

Следовательно, область определения функции — это все числа, большие или равные $-1$.

Ответ: $[-1; +\infty)$

3) Для функции $f(x) = \sqrt{|x|+1}$ выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

$|x|+1 \ge 0$

По определению, модуль любого действительного числа $|x|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$.

Следовательно, сумма $|x|+1$ всегда будет больше или равна $\text{1}$ ($|x|+1 \ge 0+1=1$).

Так как $1 > 0$, неравенство $|x|+1 \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $\text{x}$.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$

4) Для функции $f(x) = \frac{\sqrt{x-2}}{x+2}$ должны одновременно выполняться два условия:

1) Выражение под знаком квадратного корня в числителе должно быть неотрицательным:

$x-2 \ge 0 \implies x \ge 2$

2) Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Область определения функции — это пересечение множеств решений этих двух условий. Первое условие задает промежуток $[2; +\infty)$. Второе условие исключает точку $x=-2$. Так как число $-2$ не принадлежит промежутку $[2; +\infty)$, второе условие не накладывает дополнительных ограничений.

Ответ: $[2; +\infty)$