Номер 0.3, страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.3. Найдите значение выражения:

1) $4 \cos 45^\circ \cdot \sin 135^\circ$;

2) $\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin \frac{\pi}{3}$;

3) $\sin 420^\circ \cdot \cos 600^\circ$;

4) $\sin \frac{5\pi}{6} \operatorname{tg} \frac{7\pi}{3}$.

1) Чтобы найти значение выражения $4 \cos 45^\circ \cdot \sin 135^\circ$, определим значения входящих в него тригонометрических функций.

Значение $\cos 45^\circ$ является табличным: $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Для нахождения значения $\sin 135^\circ$ воспользуемся формулой приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение и выполним вычисления:

$4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cdot \frac{(\sqrt{2})^2}{2 \cdot 2} = 4 \cdot \frac{2}{4} = 2$.

Ответ: 2

2) Найдем значение выражения $\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin\frac{\pi}{3}$.

Значение $\sin\frac{\pi}{3}$ является табличным. Угол $\frac{\pi}{3}$ радиан соответствует $60^\circ$.

$\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставим это значение в выражение:

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

Ответ: 0

3) Для вычисления значения выражения $\sin 420^\circ \cdot \cos 600^\circ$ воспользуемся свойством периодичности тригонометрических функций (период для синуса и косинуса равен $360^\circ$) и формулами приведения.

Упростим $\sin 420^\circ$:

$\sin 420^\circ = \sin(360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Упростим $\cos 600^\circ$:

$\cos 600^\circ = \cos(360^\circ + 240^\circ) = \cos 240^\circ$.

Теперь для $\cos 240^\circ$ применим формулу приведения $\cos(180^\circ + \alpha) = -\cos \alpha$:

$\cos 240^\circ = \cos(180^\circ + 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

Перемножим полученные значения:

$\sin 420^\circ \cdot \cos 600^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{4}$

4) Найдем значение выражения $\sin\frac{5\pi}{6} \cdot \operatorname{tg}\frac{7\pi}{3}$.

Для нахождения значения $\sin\frac{5\pi}{6}$ применим формулу приведения $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$:

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Для нахождения значения $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{3}$ воспользуемся периодичностью тангенса (период равен $\pi$, а значит и $2\pi$). Представим угол $\frac{7\pi}{3}$ в виде суммы целого числа периодов и угла из основного промежутка:

$\frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{3} = \operatorname{tg}\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Теперь перемножим полученные результаты:

$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$