Номер 0.10, страница 6, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.10. Найдите производную функции:

1) $y = x - x^3;$

2) $y = \sqrt{x} + \frac{x^2}{2};$

3) $y = \frac{x - 1}{x + 1};$

4) $y = \sin 3x;$

5) $y = x \cdot \tan \frac{x}{2};$

6) $y = \left(3x + \frac{x^6}{6}\right) \cdot \cos x.$

1) Для нахождения производной функции $y = x - x^3$ воспользуемся правилом дифференцирования разности двух функций $(u-v)' = u' - v'$ и формулой производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

Производная от $\text{x}$ равна $(x)' = 1$.

Производная от $x^3$ равна $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Таким образом, производная исходной функции:

$y' = (x - x^3)' = (x)' - (x^3)' = 1 - 3x^2$.

Ответ: $y' = 1 - 3x^2$.

2) Для нахождения производной функции $y = \sqrt{x} + \frac{x^2}{2}$ используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$.

Находим производную первого слагаемого по формуле для степенной функции:

$(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Находим производную второго слагаемого:

$(\frac{x^2}{2})' = \frac{1}{2}(x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x = x$.

Складываем производные:

$y' = (\sqrt{x})' + (\frac{x^2}{2})' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + x$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} + x$.

3) Для нахождения производной функции $y = \frac{x-1}{x+1}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного (дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u = x-1$ и $v = x+1$.

Находим производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x-1)' = 1$.

$v' = (x+1)' = 1$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(x-1)'(x+1) - (x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{1 \cdot (x+1) - (x-1) \cdot 1}{(x+1)^2}$.

Упрощаем числитель:

$y' = \frac{x+1 - x+1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{(x+1)^2}$.

4) Данная функция является сложной, поэтому для нахождения ее производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Внешняя функция $f(u) = \sin(u)$, ее производная $f'(u) = \cos(u)$.

Внутренняя функция $g(x) = 3x$, ее производная $g'(x) = 3$.

Подставляем в формулу:

$y' = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.

Ответ: $y' = 3\cos(3x)$.

5) Для нахождения производной функции $y = x \cdot \tan(\frac{x}{2})$ используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = x$ и $v = \tan(\frac{x}{2})$.

Находим производную $u'$:

$u' = (x)' = 1$.

Находим производную $v'$, используя цепное правило. Внешняя функция $(\tan(t))' = \frac{1}{\cos^2(t)}$, внутренняя функция $t = \frac{x}{2}$, ее производная $(\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$.

$v' = (\tan(\frac{x}{2}))' = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot (\frac{x}{2})' = \frac{1}{\cos^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})}$.

Подставляем все в правило произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \tan(\frac{x}{2}) + x \cdot \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} = \tan(\frac{x}{2}) + \frac{x}{2\cos^2(\frac{x}{2})}$.

Ответ: $y' = \tan(\frac{x}{2}) + \frac{x}{2\cos^2(\frac{x}{2})}$.

6) Для нахождения производной функции $y = (3x + \frac{x^6}{6}) \cdot \cos(x)$ используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u = 3x + \frac{x^6}{6}$ и $v = \cos(x)$.

Находим производную $u'$:

$u' = (3x + \frac{x^6}{6})' = (3x)' + (\frac{x^6}{6})' = 3 + \frac{1}{6} \cdot 6x^5 = 3 + x^5$.

Находим производную $v'$:

$v' = (\cos(x))' = -\sin(x)$.

Подставляем в правило произведения:

$y' = u'v + uv' = (3 + x^5)\cos(x) + (3x + \frac{x^6}{6})(-\sin(x))$.

Раскрываем скобки и упрощаем:

$y' = (3 + x^5)\cos(x) - (3x + \frac{x^6}{6})\sin(x)$.

Ответ: $y' = (3 + x^5)\cos(x) - (3x + \frac{x^6}{6})\sin(x)$.