Номер 0.14, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.14. Проведите исследование функции с помощью производной и постройте ее график (результат проверьте с помощью графического онлайн-калькулятора https://www.desmos.com/calculator):

1) $y = (x - 3)^3$;

2) $y = -x^3 + 3x^2$.

1) $y = (x - 3)³$

Проведем исследование функции по стандартному плану.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: $x=0$, $y = (0-3)³ = -27$. Точка пересечения $(0; -27)$.

С осью $Ox$: $y=0$, $(x-3)³ = 0$, откуда $x=3$. Точка пересечения $(3; 0)$.

3. Четность и нечетность функции.

$y(-x) = (-x - 3)³ = -(x + 3)³$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция общего вида.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси. Наклонных асимптот также нет, так как это многочлен степени выше первой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную функции:

$y' = ((x - 3)³)' = 3(x - 3)² \cdot (x-3)' = 3(x - 3)²$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3(x - 3)² = 0 \implies x = 3$.

Определим знаки производной на интервалах, на которые точка $x=3$ разбивает числовую ось.

При $x \in (-\infty; 3)$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (3; +\infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x=3$, в этой точке нет экстремума. Функция возрастает на всей области определения.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:

$y'' = (3(x - 3)²)' = 3 \cdot 2(x - 3) \cdot (x-3)' = 6(x - 3)$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$6(x - 3) = 0 \implies x = 3$.

Определим знаки второй производной на интервалах:

При $x \in (-\infty; 3)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

При $x \in (3; +\infty)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

Так как при переходе через точку $x=3$ вторая производная меняет знак, то $x=3$ является точкой перегиба. Найдем ординату этой точки: $y(3) = (3 - 3)³ = 0$. Точка перегиба $(3; 0)$.

7. Построение графика.

На основе проведенного анализа можно построить график. Это график кубической параболы $y=x³$, смещенный на 3 единицы вправо по оси $Ox$. Он проходит через точки $(0; -27)$ и $(3; 0)$. В точке $(3; 0)$ у графика есть точка перегиба с горизонтальной касательной.

Ответ: Функция $y = (x - 3)³$ определена и возрастает на всей числовой оси $(-\infty; +\infty)$, экстремумов не имеет. График пересекает оси в точках $(0; -27)$ и $(3; 0)$. График является вогнутым на интервале $(-\infty; 3)$ и выпуклым на интервале $(3; +\infty)$. Точка $(3; 0)$ является точкой перегиба. График представляет собой кубическую параболу $y=x³$, сдвинутую на 3 единицы вправо.

2) $y = -x³ + 3x²$

Проведем исследование функции по стандартному плану.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Oy$: $x=0$, $y = -0³ + 3 \cdot 0² = 0$. Точка пересечения $(0; 0)$.

С осью $Ox$: $y=0$, $-x³ + 3x² = 0 \implies -x²(x-3) = 0$, откуда $x=0$ или $x=3$. Точки пересечения $(0; 0)$ и $(3; 0)$.

3. Четность и нечетность функции.

$y(-x) = -(-x)³ + 3(-x)² = x³ + 3x²$.

Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция общего вида.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет. Наклонных асимптот также нет, так как это многочлен степени выше первой.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную функции:

$y' = (-x³ + 3x²)' = -3x² + 6x$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-3x² + 6x = 0 \implies -3x(x - 2) = 0$.

Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Определим знаки производной на интервалах $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.

При $x \in (-\infty; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (0; 2)$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (2; +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 0$. Точка минимума $(0; 0)$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(2) = -(2)³ + 3(2)² = -8 + 12 = 4$. Точка максимума $(2; 4)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:

$y'' = (-3x² + 6x)' = -6x + 6$.

Найдем точки, в которых вторая производная равна нулю:

$-6x + 6 = 0 \implies x = 1$.

Определим знаки второй производной на интервалах:

При $x \in (-\infty; 1)$, $y'' > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

При $x \in (1; +\infty)$, $y'' < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

Так как при переходе через точку $x=1$ вторая производная меняет знак, то $x=1$ является точкой перегиба. Найдем ординату этой точки: $y(1) = -(1)³ + 3(1)² = -1 + 3 = 2$. Точка перегиба $(1; 2)$.

7. Построение графика.

Соберем все данные: точки пересечения с осями $(0; 0)$ и $(3; 0)$, точка минимума $(0; 0)$, точка максимума $(2; 4)$, точка перегиба $(1; 2)$. С учетом интервалов монотонности и выпуклости строим график.

Ответ: Функция $y = -x³ + 3x²$ убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; +\infty)$ и возрастает на промежутке $[0; 2]$. Точка $(0; 0)$ является точкой локального минимума, а точка $(2; 4)$ — точкой локального максимума. График является выпуклым на интервале $(-\infty; 1)$ и вогнутым на интервале $(1; +\infty)$. Точка $(1; 2)$ является точкой перегиба. График пересекает оси координат в точках $(0; 0)$ и $(3; 0)$.