Номер 0.17, страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.17. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = \sqrt{x^2 - 4} + \frac{1}{\sqrt{4 - x}}$;

2) $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 4}{4 - x}}$.

1) Область определения функции $f(x) = \sqrt{x^2 - 4} + \frac{1}{\sqrt{4-x}}$ находится из условия, что оба слагаемых должны быть определены. Это означает, что подкоренное выражение в первом слагаемом должно быть неотрицательным, а подкоренное выражение в знаменателе второго слагаемого — строго положительным. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 4 \ge 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases} $

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

Первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.

Разложим левую часть на множители: $(x-2)(x+2) \ge 0$.

Решением этого неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Второе неравенство: $4 - x > 0$.

Перенеся $\text{x}$ в правую часть, получаем $x < 4$.

Решением этого неравенства является промежуток $x \in (-\infty, 4)$.

Область определения исходной функции является пересечением решений обоих неравенств:

$((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap (-\infty, 4)$.

Найдем пересечение. Пересечение множества $(-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ с интервалом $(-\infty, 4)$ состоит из двух частей:

1. $(-\infty, -2] \cap (-\infty, 4) = (-\infty, -2]$

2. $[2, \infty) \cap (-\infty, 4) = [2, 4)$

Объединив эти результаты, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, 4)$.

2) Область определения функции $f(x) = \sqrt{\frac{x^2 - 4}{4 - x}}$ находится из условия, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Это сводится к решению неравенства:

$\frac{x^2 - 4}{4 - x} \ge 0$

Разложим числитель на множители:

$\frac{(x-2)(x+2)}{4 - x} \ge 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль (точки смены знака):

$x-2 = 0 \Rightarrow x=2$

$x+2 = 0 \Rightarrow x=-2$

$4-x = 0 \Rightarrow x=4$

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знак дроби в каждом из полученных интервалов: $(-\infty, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, 4)$, $(4, \infty)$.

При $x > 4$ (например, $x=5$): $\frac{(+)(+)}{(-)} < 0$.

При $2 < x < 4$ (например, $x=3$): $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$.

При $-2 < x < 2$ (например, $x=0$): $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$.

При $x < -2$ (например, $x=-3$): $\frac{(-)(-)}{(+)} > 0$.

Нас интересуют промежутки, где выражение больше или равно нулю. Выражение положительно на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(2, 4)$.

Также нужно учесть точки, в которых выражение равно нулю. Это происходит, когда числитель равен нулю, т.е. при $x=-2$ и $x=2$. Эти точки включаются в область определения.

Точка $x=4$ обращает знаменатель в ноль, поэтому она исключается из области определения (деление на ноль недопустимо).

Объединяя все вместе, получаем область определения: $(-\infty, -2] \cup [2, 4)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, 4)$.