Номер 0.22, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.22. Решите уравнение:

1) $ \sin 2x - 3\cos^2x = 4; $

2) $ \sin^4x + \cos^4x = \cos^2(2x); $

3) $ 4\sin 3x - 3\cos 3x = \frac{5}{2}; $

4) $ \sin x + \cos x + \sin x \cos x = 1; $

5) $ \arccos x - \pi = \arcsin \frac{4x}{3}; $

6) $ \operatorname{arctg} 2x + \operatorname{arctg} 3x = \frac{3\pi}{4}. $

1)

Исходное уравнение: $ \sin2x - 3\cos^2x = 4 $.

Используем формулу двойного угла для синуса $ \sin2x = 2\sin x \cos x $ и формулу понижения степени для косинуса $ \cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2} $.

Преобразуем уравнение: $ \sin2x - 3 \cdot \frac{1+\cos2x}{2} = 4 $.

Умножим обе части на 2: $ 2\sin2x - 3(1+\cos2x) = 8 $.

$ 2\sin2x - 3 - 3\cos2x = 8 $.

$ 2\sin2x - 3\cos2x = 11 $.

Это уравнение вида $ a\sin\alpha + b\cos\alpha = c $. Левая часть уравнения может быть преобразована к виду $ \sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha+\phi) $.

В нашем случае $ a=2 $, $ b=-3 $. Максимальное значение левой части равно $ \sqrt{2^2+(-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} $.

Так как $ \sqrt{13} \approx 3.6 $, а правая часть равна 11, то $ \sqrt{13} < 11 $.

Поскольку максимальное значение выражения $ 2\sin2x - 3\cos2x $ равно $ \sqrt{13} $, оно никогда не может быть равно 11.

Следовательно, у уравнения нет решений.

Ответ: решений нет.

2)

Исходное уравнение: $ \sin^4x + \cos^4x = \cos^22x $.

Преобразуем левую часть уравнения:

$ \sin^4x + \cos^4x = (\sin^2x + \cos^2x)^2 - 2\sin^2x\cos^2x = 1 - 2\sin^2x\cos^2x $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin2x = 2\sin x\cos x $, откуда $ \sin^22x = 4\sin^2x\cos^2x $, и значит $ 2\sin^2x\cos^2x = \frac{1}{2}\sin^22x $.

Тогда левая часть равна $ 1 - \frac{1}{2}\sin^22x $.

Подставляем это в исходное уравнение:

$ 1 - \frac{1}{2}\sin^22x = \cos^22x $.

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^22x + \cos^22x = 1 $, заменим $ \sin^22x $ на $ 1 - \cos^22x $.

$ 1 - \frac{1}{2}(1 - \cos^22x) = \cos^22x $.

$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos^22x = \cos^22x $.

$ \frac{1}{2} = \cos^22x - \frac{1}{2}\cos^22x $.

$ \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\cos^22x $.

$ \cos^22x = 1 $.

Это уравнение распадается на два:

а) $ \cos2x = 1 \implies 2x = 2\pi k \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ \cos2x = -1 \implies 2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Объединяя эти две серии решений, получаем $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} $.

3)

Исходное уравнение: $ 4\sin3x - 3\cos3x = \frac{5}{2} $.

Это уравнение вида $ a\sin\alpha + b\cos\alpha = c $. Применим метод введения вспомогательного угла. Разделим обе части уравнения на $ \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{4^2+(-3)^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 $.

$ \frac{4}{5}\sin3x - \frac{3}{5}\cos3x = \frac{5/2}{5} $.

$ \frac{4}{5}\sin3x - \frac{3}{5}\cos3x = \frac{1}{2} $.

Существует такой угол $ \phi $, что $ \cos\phi = \frac{4}{5} $ и $ \sin\phi = \frac{3}{5} $. Например, $ \phi = \arccos\frac{4}{5} $.

Уравнение принимает вид:

$ \cos\phi\sin3x - \sin\phi\cos3x = \frac{1}{2} $.

По формуле синуса разности $ \sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $, получаем:

$ \sin(3x - \phi) = \frac{1}{2} $.

Решения этого уравнения:

$ 3x - \phi = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi n $

$ 3x - \phi = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

$ 3x = \phi + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $.

$ x = \frac{1}{3}\left(\phi + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n\right) $.

Подставляя $ \phi = \arccos\frac{4}{5} $, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = \frac{1}{3}\left(\arccos\frac{4}{5} + (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n\right), n \in \mathbb{Z} $.

4)

Исходное уравнение: $ \sin x + \cos x + \sin x\cos x = 1 $.

Введем замену $ t = \sin x + \cos x $.

Возведем обе части замены в квадрат: $ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2x + 2\sin x\cos x + \cos^2x = 1 + 2\sin x\cos x $.

Отсюда выразим $ \sin x\cos x = \frac{t^2 - 1}{2} $.

Подставим замену в исходное уравнение:

$ t + \frac{t^2 - 1}{2} = 1 $.

Умножим на 2: $ 2t + t^2 - 1 = 2 $.

$ t^2 + 2t - 3 = 0 $.

Решаем квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: $ t_1 = 1 $, $ t_2 = -3 $.

Теперь выполним обратную замену.

Случай 1: $ \sin x + \cos x = -3 $.

Выражение $ \sin x + \cos x $ можно записать как $ \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) $. Область значений этого выражения $ [-\sqrt{2}, \sqrt{2}] $.

Так как $ -3 < -\sqrt{2} $, это уравнение не имеет решений.

Случай 2: $ \sin x + \cos x = 1 $.

$ \sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}) = 1 \implies \sin(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Отсюда получаем две серии решений:

а) $ x+\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \implies x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

б) $ x+\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}; x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $.

5)

Исходное уравнение: $ \arccos x - \pi = \arcsin\frac{4x}{3} $.

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

Для $ \arccos x $: $ -1 \le x \le 1 $.

Для $ \arcsin\frac{4x}{3} $: $ -1 \le \frac{4x}{3} \le 1 \implies -\frac{3}{4} \le x \le \frac{3}{4} $.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $ x \in [-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}] $.

Определим области значений левой и правой частей.

Левая часть: $ 0 \le \arccos x \le \pi \implies -\pi \le \arccos x - \pi \le 0 $.

Правая часть: $ -\frac{\pi}{2} \le \arcsin\frac{4x}{3} \le \frac{\pi}{2} $.

Равенство возможно только если обе части принадлежат отрезку $ [-\frac{\pi}{2}, 0] $.

Возьмем синус от обеих частей уравнения:

$ \sin(\arccos x - \pi) = \sin\left(\arcsin\frac{4x}{3}\right) $.

Преобразуем левую часть: $ \sin(\arccos x - \pi) = -\sin(\pi - \arccos x) = -\sin(\arccos x) $.

Так как $ \sin(\arccos x) = \sqrt{1-x^2} $, левая часть равна $ -\sqrt{1-x^2} $.

Правая часть равна $ \frac{4x}{3} $.

Получаем уравнение: $ -\sqrt{1-x^2} = \frac{4x}{3} $.

Левая часть $ \le 0 $, значит и правая часть должна быть $ \le 0 $, то есть $ \frac{4x}{3} \le 0 \implies x \le 0 $.

С учетом ОДЗ, ищем решение на отрезке $ [-\frac{3}{4}, 0] $.

Возведем обе части в квадрат:

$ (-\sqrt{1-x^2})^2 = \left(\frac{4x}{3}\right)^2 $.

$ 1 - x^2 = \frac{16x^2}{9} $.

$ 9(1-x^2) = 16x^2 $.

$ 9 - 9x^2 = 16x^2 $.

$ 9 = 25x^2 \implies x^2 = \frac{9}{25} $.

$ x = \pm\frac{3}{5} $.

Учитывая условие $ x \le 0 $, выбираем корень $ x = -\frac{3}{5} $.

Проверим, что $ x = -\frac{3}{5} $ входит в ОДЗ: $ -\frac{3}{4} \le -\frac{3}{5} \le \frac{3}{4} $ (это верно, т.к. $ -0.75 \le -0.6 \le 0.75 $). Корень подходит.

Ответ: $ x = -\frac{3}{5} $.

6)

Исходное уравнение: $ \text{arctg}2x + \text{arctg}3x = \frac{3\pi}{4} $.

Правая часть $ \frac{3\pi}{4} > 0 $. Так как $ \text{arctg} y $ имеет тот же знак, что и $ y $, сумма двух арктангенсов может быть положительной, если хотя бы один из аргументов положителен. Если $ x<0 $, то $ 2x<0 $ и $ 3x<0 $, и оба арктангенса отрицательны, их сумма будет отрицательной. Если $ x=0 $, то сумма равна 0. Следовательно, $ x>0 $.

При $ x>0 $ оба слагаемых $ \text{arctg}2x $ и $ \text{arctg}3x $ находятся в интервале $ (0, \frac{\pi}{2}) $, а их сумма в $ (0, \pi) $.

Используем формулу сложения арктангенсов:

$ \text{arctg} a + \text{arctg} b = \begin{cases} \text{arctg}\frac{a+b}{1-ab}, & \text{если } ab < 1 \\ \pi + \text{arctg}\frac{a+b}{1-ab}, & \text{если } ab > 1 \text{ и } a,b > 0 \end{cases} $

В нашем случае $ a=2x, b=3x $. Произведение $ ab = (2x)(3x) = 6x^2 $.

Случай 1: $ 6x^2 < 1 \implies x^2 < \frac{1}{6} \implies 0 < x < \frac{1}{\sqrt{6}} $.

Уравнение принимает вид: $ \text{arctg}\frac{2x+3x}{1-6x^2} = \frac{3\pi}{4} $.

$ \frac{5x}{1-6x^2} = \text{tg}\frac{3\pi}{4} = -1 $.

$ 5x = -(1-6x^2) = -1 + 6x^2 $.

$ 6x^2 - 5x - 1 = 0 $.

Дискриминант $ D = (-5)^2 - 4(6)(-1) = 25+24 = 49 = 7^2 $.

Корни: $ x = \frac{5 \pm 7}{12} $. $ x_1 = \frac{12}{12}=1 $, $ x_2 = \frac{-2}{12}=-\frac{1}{6} $.

Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $ 0 < x < \frac{1}{\sqrt{6}} $, так как $ 1 > \frac{1}{\sqrt{6}} $ и $ -\frac{1}{6} < 0 $.

Случай 2: $ 6x^2 > 1 \implies x > \frac{1}{\sqrt{6}} $.

Уравнение принимает вид: $ \pi + \text{arctg}\frac{5x}{1-6x^2} = \frac{3\pi}{4} $.

$ \text{arctg}\frac{5x}{1-6x^2} = \frac{3\pi}{4} - \pi = -\frac{\pi}{4} $.

$ \frac{5x}{1-6x^2} = \text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1 $.

Мы получили то же самое квадратное уравнение $ 6x^2 - 5x - 1 = 0 $ с корнями $ x_1=1 $ и $ x_2 = -\frac{1}{6} $.

Условию $ x > \frac{1}{\sqrt{6}} $ удовлетворяет только корень $ x=1 $ (так как $ 1 > \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0.408 $). Корень $ x = -\frac{1}{6} $ не подходит, так как мы ищем $ x>0 $.

Единственным решением является $ x=1 $.

Ответ: $ x=1 $.