Номер 0.25, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.25. Найдите точки разрыва функции и определите их тип:

1) $y = \frac{x+1}{x^2 - 4x - 5}$

2) $y = \begin{cases} x-3, & x \le 2 \\ 1-x^2, & x > 2 \end{cases}$

1)

Дана функция $y = \frac{x+1}{x^2 - 4x - 5}$.

Эта функция является рациональной, поэтому она непрерывна на всей своей области определения. Точки разрыва могут существовать только там, где знаменатель дроби равен нулю.

Найдем точки, в которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.

Следовательно, функция имеет две точки разрыва: $x = -1$ и $x = 5$. Определим тип каждой из них.

Для этого разложим знаменатель на множители: $x^2 - 4x - 5 = (x+1)(x-5)$.

Тогда функцию можно записать как: $y = \frac{x+1}{(x+1)(x-5)}$.

Исследование точки $x = -1$:

Найдем предел функции при $x \to -1$:

$\lim_{x \to -1} \frac{x+1}{(x+1)(x-5)} = \lim_{x \to -1} \frac{1}{x-5} = \frac{1}{-1-5} = -\frac{1}{6}$.

Так как предел в точке $x = -1$ существует и конечен, но функция в этой точке не определена, то это точка устранимого разрыва (разрыв первого рода).

Исследование точки $x = 5$:

Найдем односторонние пределы функции при $x \to 5$:

$\lim_{x \to 5-0} y(x) = \lim_{x \to 5-0} \frac{1}{x-5} = -\infty$

$\lim_{x \to 5+0} y(x) = \lim_{x \to 5+0} \frac{1}{x-5} = +\infty$

Так как односторонние пределы в точке $x = 5$ равны бесконечности, это точка разрыва второго рода.

Ответ: $x = -1$ — точка устранимого разрыва (разрыв первого рода); $x = 5$ — точка разрыва второго рода.

2)

Дана функция $y = \begin{cases} x-3, & x \le 2 \\ 1-x^2, & x > 2 \end{cases}$.

Эта функция задана двумя различными аналитическими выражениями для разных областей определения. Каждое из выражений ($x-3$ и $1-x^2$) является многочленом и непрерывно на всей числовой оси. Поэтому единственной точкой, где может произойти разрыв, является точка "склейки" $x=2$.

Чтобы определить тип разрыва, вычислим односторонние пределы в этой точке, а также значение самой функции.

Значение функции в точке $x=2$ определяется первой ветвью ($x \le 2$):

$y(2) = 2 - 3 = -1$.

Левосторонний предел (при $x \to 2$ слева, т.е. $x < 2$):

$\lim_{x \to 2-0} y(x) = \lim_{x \to 2-0} (x-3) = 2-3 = -1$.

Правосторонний предел (при $x \to 2$ справа, т.е. $x > 2$):

$\lim_{x \to 2+0} y(x) = \lim_{x \to 2+0} (1-x^2) = 1 - 2^2 = 1 - 4 = -3$.

Односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой ($\lim_{x \to 2-0} y(x) \neq \lim_{x \to 2+0} y(x)$). Это означает, что в точке $x=2$ функция имеет разрыв первого рода, который называется "скачок".

Ответ: $x = 2$ — точка разрыва первого рода (скачок).