Номер 0.29, страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.29. В пассажирском поезде 20 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде трех пассажиров при условии, что все они должны ехать в разных вагонах?

Данная задача относится к области комбинаторики. Нам нужно определить, сколькими способами можно разместить 3-х различных пассажиров в 20 различных вагонах так, чтобы все пассажиры оказались в разных вагонах. Поскольку и пассажиры, и вагоны различимы, и важен порядок их распределения (какой именно пассажир в каком вагоне), мы имеем дело с размещениями без повторений.

Можно рассуждать пошагово:

1. Для первого пассажира доступно 20 вагонов. Таким образом, есть 20 способов его разместить.

2. Поскольку второй пассажир должен ехать в другом вагоне, для него остается $20 - 1 = 19$ свободных вагонов. Значит, для второго пассажира существует 19 способов размещения.

3. Третий пассажир должен ехать в вагоне, отличном от тех, где едут первые два. Следовательно, для него остается $20 - 2 = 18$ свободных вагонов, что дает 18 способов размещения.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа способов на каждом шаге:

$N = 20 \times 19 \times 18$

Вычислим результат:

$20 \times 19 = 380$

$380 \times 18 = 6840$

Альтернативно, можно сразу использовать формулу для числа размещений без повторений из $\text{n}$ элементов по $\text{k}$:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В нашем случае $n = 20$ (общее количество вагонов), а $k = 3$ (количество пассажиров).

$A_{20}^3 = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!} = 20 \times 19 \times 18 = 6840$

Ответ: 6840