Номер 0.34, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.34. Докажите, что выражение

$\sin^2x + \sin^2y + \sin^2(x+y) + 2\cos x \cos y \cos(x+y) - 3$

не зависит от x и y.

Для доказательства того, что данное выражение не зависит от x и y, необходимо упростить его и показать, что оно равно константе.

Обозначим исходное выражение как E:

$E = \sin^2x + \sin^2y + \sin^2(x + y) + 2\cos x \cos y \cos(x + y) - 3$

Начнем с преобразования члена $2\cos x \cos y \cos(x + y)$. Применим формулу произведения косинусов $2\cos\alpha \cos\beta = \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)$:

$2\cos x \cos y = \cos(x + y) + \cos(x - y)$

Подставим это в преобразуемый член:

$2\cos x \cos y \cos(x + y) = (\cos(x + y) + \cos(x - y))\cos(x + y) = \cos^2(x + y) + \cos(x - y)\cos(x + y)$

Теперь подставим это обратно в исходное выражение E:

$E = \sin^2x + \sin^2y + \sin^2(x + y) + \cos^2(x + y) + \cos(x - y)\cos(x + y) - 3$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, мы видим, что $\sin^2(x + y) + \cos^2(x + y) = 1$. Заменим эту сумму в выражении:

$E = \sin^2x + \sin^2y + 1 + \cos(x - y)\cos(x + y) - 3$

Упростим константы:

$E = \sin^2x + \sin^2y + \cos(x - y)\cos(x + y) - 2$

Далее преобразуем произведение $\cos(x - y)\cos(x + y)$. Это можно сделать, используя формулу разности квадратов:

$\cos(x - y)\cos(x + y) = (\cos x \cos y + \sin x \sin y)(\cos x \cos y - \sin x \sin y) = \cos^2x \cos^2y - \sin^2x \sin^2y$

Используя тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$ и $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, получим:

$\cos^2x(1 - \sin^2y) - (1 - \cos^2x)\sin^2y = \cos^2x - \cos^2x \sin^2y - \sin^2y + \cos^2x \sin^2y = \cos^2x - \sin^2y$

Таким образом, $\cos(x - y)\cos(x + y) = \cos^2x - \sin^2y$. Подставим это в наше выражение для E:

$E = \sin^2x + \sin^2y + (\cos^2x - \sin^2y) - 2$

Теперь сгруппируем и сократим члены:

$E = (\sin^2x + \cos^2x) + (\sin^2y - \sin^2y) - 2$

Применяя основное тригонометрическое тождество еще раз, получаем:

$E = 1 + 0 - 2 = -1$

В результате упрощения мы получили, что значение исходного выражения равно -1, что является константой и не зависит от переменных x и y. Что и требовалось доказать.

Ответ: Выражение тождественно равно -1.