Номер 0.37, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.37*. Найдите асимптоты функции и постройте ее график:

1) $y = 3x - \frac{4}{x+1} - 2$;

2) $y = \frac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$.

1) $y = 3x - \frac{4}{x+1} - 2$

Исследование функции и нахождение асимптот.

1. Область определения.

Функция не определена, когда знаменатель равен нулю: $x+1=0 \Rightarrow x=-1$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.

2. Вертикальные асимптоты.

Ищем вертикальную асимптоту в точке разрыва $x=-1$. Найдем односторонние пределы:

$\lim_{x \to -1^-} (3x - \frac{4}{x+1} - 2) = 3(-1) - \frac{4}{-0} - 2 = -3 + \infty - 2 = +\infty$

$\lim_{x \to -1^+} (3x - \frac{4}{x+1} - 2) = 3(-1) - \frac{4}{+0} - 2 = -3 - \infty - 2 = -\infty$

Так как пределы равны бесконечности, прямая $x=-1$ является вертикальной асимптотой.

3. Наклонные асимптоты.

Ищем асимптоту в виде $y=kx+b$.

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x - \frac{4}{x+1} - 2}{x} = \lim_{x \to \infty} (3 - \frac{4}{x(x+1)} - \frac{2}{x}) = 3 - 0 - 0 = 3$.

$b = \lim_{x \to \infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \infty} (3x - \frac{4}{x+1} - 2 - 3x) = \lim_{x \to \infty} (-\frac{4}{x+1} - 2) = 0 - 2 = -2$.

Следовательно, прямая $y=3x-2$ является наклонной асимптотой при $x \to \pm\infty$.

4. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: при $x=0 \Rightarrow y = 3(0) - \frac{4}{0+1} - 2 = -6$. Точка $(0, -6)$.

С осью Ox: при $y=0 \Rightarrow 3x - \frac{4}{x+1} - 2 = 0$.

Приводим к общему знаменателю: $\frac{(3x-2)(x+1) - 4}{x+1} = 0 \Rightarrow 3x^2+x-6 = 0$ при $x \ne -1$.

$D = 1^2 - 4(3)(-6) = 1+72 = 73$.

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{6}$. Точки пересечения: $(\frac{-1-\sqrt{73}}{6}, 0) \approx (-1.59, 0)$ и $(\frac{-1+\sqrt{73}}{6}, 0) \approx (1.26, 0)$.

5. Монотонность и экстремумы.

Найдем производную: $y' = (3x - 4(x+1)^{-1} - 2)' = 3 + 4(x+1)^{-2} = 3 + \frac{4}{(x+1)^2}$.

Так как $(x+1)^2 > 0$ для всех $\text{x}$ из области определения, то $y' = 3 + \frac{4}{(x+1)^2} > 3 > 0$.

Производная всегда положительна, следовательно, функция возрастает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, -1)$ и $(-1, \infty)$. Экстремумов нет.

6. Построение графика.

Для построения графика используем найденные асимптоты ($x=-1$, $y=3x-2$) и точки пересечения с осями. Определим положение графика относительно наклонной асимптоты, изучив знак разности $y - (3x-2) = -\frac{4}{x+1}$.

При $x \to +\infty$ (и для всех $x>-1$), разность отрицательна, т.е. график лежит ниже асимптоты.

При $x \to -\infty$ (и для всех $x<-1$), разность положительна, т.е. график лежит выше асимптоты.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=-1$. Наклонная асимптота: $y=3x-2$. График представлен на рисунке.

2) $y = \frac{x^3 - 1}{x^2 + 1}$

Исследование функции и нахождение асимптот.

1. Область определения.

Знаменатель $x^2+1$ никогда не равен нулю ($x^2+1 \ge 1$).

Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Вертикальные асимптоты.

Так как функция определена на всей числовой оси, вертикальных асимптот нет.

3. Наклонные асимптоты.

Степень числителя (3) на единицу больше степени знаменателя (2), значит, есть наклонная асимптота вида $y=kx+b$.

Выделим целую часть дроби: $y = \frac{x^3 - 1}{x^2 + 1} = \frac{x(x^2+1) - x - 1}{x^2 + 1} = x - \frac{x+1}{x^2+1}$.

Поскольку $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x+1}{x^2+1} = 0$, то прямая $y=x$ является наклонной асимптотой.

4. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy: при $x=0 \Rightarrow y = \frac{0^3-1}{0^2+1} = -1$. Точка $(0, -1)$.

С осью Ox: при $y=0 \Rightarrow \frac{x^3-1}{x^2+1}=0 \Rightarrow x^3-1=0 \Rightarrow x=1$. Точка $(1, 0)$.

5. Монотонность и экстремумы.

Найдем производную: $y' = \left(x - \frac{x+1}{x^2+1}\right)' = 1 - \frac{1(x^2+1)-(x+1)(2x)}{(x^2+1)^2} = 1 - \frac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2} = \frac{(x^2+1)^2+x^2+2x-1}{(x^2+1)^2} = \frac{x^4+2x^2+1+x^2+2x-1}{(x^2+1)^2} = \frac{x^4+3x^2+2x}{(x^2+1)^2}$.

Приравняем производную к нулю: $x(x^3+3x+2)=0$.

Один корень $x_1=0$. Второй корень $x_2$ является решением уравнения $p(x)=x^3+3x+2=0$. Так как $p(-1)=-2 < 0$ и $p(0)=2 > 0$, а функция $p(x)$ монотонно возрастает ($p'(x)=3x^2+3>0$), корень $x_2$ существует, он единственный и лежит в интервале $(-1, 0)$.

Анализ знака производной показывает, что $x_2$ — точка локального максимума, а $x_1=0$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = -1$.

6. Построение графика.

Строим асимптоту $y=x$. Отмечаем точки $(0, -1)$ (минимум) и $(1, 0)$.

Найдем точку пересечения графика с асимптотой: $\frac{x^3-1}{x^2+1} = x \Rightarrow x^3-1 = x^3+x \Rightarrow x=-1$. Точка пересечения $(-1, -1)$.

Положение графика относительно асимптоты определяется знаком разности $y-x = -\frac{x+1}{x^2+1}$.

При $x > -1$, разность отрицательна, график ниже асимптоты.

При $x < -1$, разность положительна, график выше асимптоты.

Ответ: Вертикальных асимптот нет. Наклонная асимптота: $y=x$. График представлен на рисунке.