Номер 0.36, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.36. Решите неравенство:

1) $4\sin^3 x < 2\sin x + \cos 2x;$

2) $\cos (\sin x) < 0.$

1) Исходное неравенство: $4\sin^3x < 2\sin x + \cos2x$.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos2x = 1 - 2\sin^2x$, чтобы привести неравенство к одной функции.

$4\sin^3x < 2\sin x + 1 - 2\sin^2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$4\sin^3x + 2\sin^2x - 2\sin x - 1 < 0$

Сделаем замену $t = \sin x$. Так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $-1 \le t \le 1$. Неравенство принимает вид:

$4t^3 + 2t^2 - 2t - 1 < 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$(4t^3 + 2t^2) - (2t + 1) < 0$

$2t^2(2t + 1) - 1(2t + 1) < 0$

$(2t^2 - 1)(2t + 1) < 0$

Найдем корни левой части:

$2t + 1 = 0 \Rightarrow t_1 = -\frac{1}{2}$

$2t^2 - 1 = 0 \Rightarrow t^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow t_{2,3} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

Отметим корни на числовой оси: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $-\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решим неравенство методом интервалов.

Выражение $(2t^2 - 1)(2t + 1)$ отрицательно при $t \in \left(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Учитывая ограничение $-1 \le t \le 1$, получаем:

$t \in \left[-1, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Возвращаемся к переменной $\text{x}$:

1. $-1 \le \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решением этого неравенства является $x \in \left(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

2. $-\frac{1}{2} < \sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in \left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

Объединяя все полученные интервалы, получаем окончательное решение.

Ответ: $x \in \left(-\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) \cup \left(-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{4} + 2\pi k\right) \cup \left(\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \frac{7\pi}{6} + 2\pi k\right), k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное неравенство: $\cos(\sin x) < 0$.

Сделаем замену $t = \sin x$. Неравенство примет вид $\cos t < 0$.

Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$. Следовательно, для переменной $\text{t}$ действует ограничение $-1 \le t \le 1$.

Решим неравенство $\cos t < 0$. Косинус отрицателен, когда его аргумент находится во второй или третьей четверти единичной окружности.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi n < t < \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо найти пересечение этого множества решений для $\text{t}$ с отрезком $[-1, 1]$.

Рассмотрим случай при $n=0$:

$\frac{\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{2}$.

Поскольку $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.71$.

Интервал $(\approx 1.57, \approx 4.71)$ не имеет общих точек с отрезком $[-1, 1]$, так как $1.57 > 1$.

При других целых значениях $\text{n}$ (положительных или отрицательных) интервалы для $\text{t}$ будут еще дальше от отрезка $[-1, 1]$. Например, при $n=-1$ получим $-\frac{3\pi}{2} < t < -\frac{\pi}{2}$, что примерно равно $(-4.71, -1.57)$. Этот интервал также не пересекается с $[-1, 1]$.

Таким образом, не существует таких значений $\text{t}$, которые одновременно удовлетворяли бы условию $\cos t < 0$ и ограничению $-1 \le t \le 1$.

Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).