Номер 0.40, страница 9, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

0.40. Покажите, что точки перегиба функции $y = 3x^5 - 10x^3 + 3x$ лежат на одной прямой.

Для того чтобы доказать, что точки перегиба функции лежат на одной прямой, необходимо сначала найти координаты этих точек. Точки перегиба находятся там, где вторая производная функции равна нулю и меняет свой знак.

Дана функция $y = 3x^5 - 10x^3 + 3x$.

1. Находим первую и вторую производные функции.

Первая производная:

$y' = (3x^5 - 10x^3 + 3x)' = 15x^4 - 30x^2 + 3$.

Вторая производная:

$y'' = (15x^4 - 30x^2 + 3)' = 60x^3 - 60x$.

2. Находим абсциссы точек перегиба.

Приравниваем вторую производную к нулю и решаем уравнение:

$y'' = 0 \Rightarrow 60x^3 - 60x = 0$

$60x(x^2 - 1) = 0$

$60x(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем абсциссы трех точек перегиба: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Находим ординаты точек перегиба.

Подставляем найденные значения $\text{x}$ в исходное уравнение функции $y = 3x^5 - 10x^3 + 3x$:

При $x_1 = -1$: $y_1 = 3(-1)^5 - 10(-1)^3 + 3(-1) = -3 - 10(-1) - 3 = -3 + 10 - 3 = 4$. Получаем точку $A(-1, 4)$.

При $x_2 = 0$: $y_2 = 3(0)^5 - 10(0)^3 + 3(0) = 0$. Получаем точку $B(0, 0)$.

При $x_3 = 1$: $y_3 = 3(1)^5 - 10(1)^3 + 3(1) = 3 - 10 + 3 = -4$. Получаем точку $C(1, -4)$.

4. Проверяем, лежат ли точки A, B и C на одной прямой.

Составим уравнение прямой, проходящей через две точки, например, через $B(0, 0)$ и $C(1, -4)$. Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$.

Поскольку прямая проходит через начало координат (точку $\text{B}$), то $b=0$, и уравнение имеет вид $y = kx$.

Подставим координаты точки $C(1, -4)$ в это уравнение, чтобы найти угловой коэффициент $\text{k}$:

$-4 = k \cdot 1$, откуда $k = -4$.

Итак, уравнение прямой, проходящей через точки $\text{B}$ и $\text{C}$, есть $y = -4x$.

Теперь проверим, принадлежит ли третья точка $A(-1, 4)$ этой прямой. Подставим ее координаты в уравнение $y = -4x$:

$4 = -4 \cdot (-1)$

$4 = 4$

Равенство верное, следовательно, точка $\text{A}$ также лежит на этой прямой. Таким образом, все три точки перегиба лежат на одной прямой $y = -4x$.

Ответ: Доказано, что точки перегиба функции $A(-1, 4)$, $B(0, 0)$ и $C(1, -4)$ лежат на одной прямой $y=-4x$.