Номер 1.4, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.4. Найдите первообразную для следующей функции:

1) $f(x) = 2x - 1;$

2) $f(x) = 5x^3 - 4;$

3) $f(x) = 7x^2 - 3\cos x - 3;$

4) $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2 x};$

5) $f(x) = (5x - 4)^3;$

6) $f(x) = 7\sin x - 3x^2 - 3\cos x - 3.$

1) Для функции $f(x) = 2x - 1$.

Первообразная функции, или неопределенный интеграл, находится по правилам интегрирования. Первообразная суммы функций равна сумме первообразных.

$F(x) = \int (2x - 1) dx = \int 2x dx - \int 1 dx$.

Для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Найдем первообразную для $2x$: $\int 2x dx = 2 \int x^1 dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.

Найдем первообразную для 1: $\int 1 dx = x$.

Складывая результаты и добавляя константу интегрирования $\text{C}$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = x^2 - x + C$, где $\text{C}$ - произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = x^2 - x + C$.

2) Для функции $f(x) = 5x^3 - 4$.

$F(x) = \int (5x^3 - 4) dx = \int 5x^3 dx - \int 4 dx$.

Используя правило для степенной функции:

$\int 5x^3 dx = 5 \int x^3 dx = 5 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 5 \frac{x^4}{4} = \frac{5}{4}x^4$.

Первообразная константы: $\int 4 dx = 4x$.

Общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{5}{4}x^4 - 4x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{5}{4}x^4 - 4x + C$.

3) Для функции $f(x) = 7x^2 - 3\cos x - 3$.

$F(x) = \int (7x^2 - 3\cos x - 3) dx = \int 7x^2 dx - \int 3\cos x dx - \int 3 dx$.

$\int 7x^2 dx = 7 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{7}{3}x^3$.

Используя табличную первообразную для косинуса $\int \cos x dx = \sin x$:

$\int 3\cos x dx = 3\sin x$.

$\int 3 dx = 3x$.

Общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{7}{3}x^3 - 3\sin x - 3x + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{7}{3}x^3 - 3\sin x - 3x + C$.

4) Для функции $f(x) = 2 - \frac{1}{\cos^2 x}$.

$F(x) = \int (2 - \frac{1}{\cos^2 x}) dx = \int 2 dx - \int \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

$\int 2 dx = 2x$.

Используя табличную первообразную $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$:

Общий вид первообразной:

$F(x) = 2x - \tan x + C$.

Ответ: $F(x) = 2x - \tan x + C$.

5) Для функции $f(x) = (5x - 4)^3$.

Это сложная функция вида $(kx+m)^n$. Ее первообразная находится по формуле $\int (kx+m)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+m)^{n+1}}{n+1} + C$.

В нашем случае $k=5$, $m=-4$, $n=3$.

$F(x) = \int (5x - 4)^3 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x - 4)^{3+1}}{3+1} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x - 4)^4}{4} + C = \frac{(5x - 4)^4}{20} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{(5x - 4)^4}{20} + C$.

6) Для функции $f(x) = 7\sin x - 3x^2 - 3\cos x - 3$.

$F(x) = \int (7\sin x - 3x^2 - 3\cos x - 3) dx = \int 7\sin x dx - \int 3x^2 dx - \int 3\cos x dx - \int 3 dx$.

Используя табличную первообразную для синуса $\int \sin x dx = -\cos x$:

$\int 7\sin x dx = -7\cos x$.

$\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

$\int 3\cos x dx = 3\sin x$.

$\int 3 dx = 3x$.

Собираем все вместе:

$F(x) = -7\cos x - x^3 - 3\sin x - 3x + C$.

Ответ: $F(x) = -7\cos x - x^3 - 3\sin x - 3x + C$.