Номер 1.10, страница 22, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.10. Пользуясь таблицей интегралов, найдите:

1) $\int x^7 \, dx;$

2) $\int x^4 \sqrt{x} \, dx;$

3) $\int \frac{x^3 + 3x^2 - \sqrt[3]{x} + 1}{x\sqrt{x}} \, dx;$

4) $\int \frac{x^4 - 16}{x^2 + 4} \, dx;$

5) $\int \left( 8\sin x - \frac{9}{\cos^2 x} \right) \, dx;$

6) $\int \left( 6\cos x - \frac{5}{\sin^2 x} \right) \, dx;$

7) $\int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x};$

8) $\int 5\sqrt{x} \, dx + \int \frac{10 \, dx}{\cos^2 x};$

9) $\int \frac{5 \, dx}{\sin^2 x} - \int \frac{6}{x\sqrt{x}} \, dx.$

1) Для нахождения интеграла $\int x^7 dx$ воспользуемся табличной формулой интеграла от степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае $n=7$.

$\int x^7 dx = \frac{x^{7+1}}{7+1} + C = \frac{x^8}{8} + C$.

Ответ: $\frac{x^8}{8} + C$.

2) Преобразуем подынтегральное выражение, используя свойства степеней: $x^3 \sqrt[4]{x} = x^3 \cdot x^{1/4} = x^{3 + 1/4} = x^{13/4}$.

Теперь найдем интеграл от степенной функции $\int x^{13/4} dx$ по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $n=13/4$.

$\int x^{13/4} dx = \frac{x^{13/4 + 1}}{13/4 + 1} + C = \frac{x^{17/4}}{17/4} + C = \frac{4}{17}x^{17/4} + C$.

Результат также можно записать в виде $\frac{4}{17}x^4\sqrt[4]{x} + C$.

Ответ: $\frac{4}{17}x^{17/4} + C$.

3) Разделим числитель подынтегрального выражения на знаменатель почленно. Знаменатель $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.

$\frac{x^3 + 3x^2 - \sqrt[8]{x} + 1}{x\sqrt{x}} = \frac{x^3}{x^{3/2}} + \frac{3x^2}{x^{3/2}} - \frac{x^{1/8}}{x^{3/2}} + \frac{1}{x^{3/2}} = x^{3 - 3/2} + 3x^{2 - 3/2} - x^{1/8 - 3/2} + x^{-3/2} = x^{3/2} + 3x^{1/2} - x^{-11/8} + x^{-3/2}$.

Теперь интегрируем полученную сумму функций, используя правило линейности и формулу для степенной функции:

$\int (x^{3/2} + 3x^{1/2} - x^{-11/8} + x^{-3/2}) dx = \int x^{3/2}dx + 3\int x^{1/2}dx - \int x^{-11/8}dx + \int x^{-3/2}dx$

$= \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + 3\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - \frac{x^{-11/8+1}}{-11/8+1} + \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} + C$

$= \frac{x^{5/2}}{5/2} + 3\frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{-3/8}}{-3/8} + \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C$

$= \frac{2}{5}x^{5/2} + 2x^{3/2} + \frac{8}{3}x^{-3/8} - 2x^{-1/2} + C$.

Ответ: $\frac{2}{5}x^{5/2} + 2x^{3/2} + \frac{8}{3}x^{-3/8} - 2x^{-1/2} + C$.

4) Упростим подынтегральное выражение. Заметим, что числитель является разностью квадратов: $x^4 - 16 = (x^2)^2 - 4^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)$.

$\int \frac{x^4 - 16}{x^2 + 4} dx = \int \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 4)}{x^2 + 4} dx = \int (x^2 - 4) dx$.

Интегрируем почленно:

$\int x^2 dx - \int 4 dx = \frac{x^3}{3} - 4x + C$.

Ответ: $\frac{x^3}{3} - 4x + C$.

5) Используем свойство линейности интеграла и табличные интегралы $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x + C$.

$\int (8\sin x - \frac{9}{\cos^2 x}) dx = 8\int \sin x dx - 9\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 8(-\cos x) - 9(\tan x) + C = -8\cos x - 9\tan x + C$.

Ответ: $-8\cos x - 9\tan x + C$.

6) Используем свойство линейности интеграла и табличные интегралы $\int \cos x dx = \sin x + C$ и $\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = -\cot x + C$.

$\int (6\cos x - \frac{5}{\sin^2 x}) dx = 6\int \cos x dx - 5\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = 6(\sin x) - 5(-\cot x) + C = 6\sin x + 5\cot x + C$.

Ответ: $6\sin x + 5\cot x + C$.

7) Для нахождения интеграла $\int \frac{dx}{\sin^2 x \cos^2 x}$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$.

$\int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx = \int (\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x}) dx = \int (\frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}) dx$.

Разбиваем на два интеграла и используем табличные значения:

$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx + \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = \tan x - \cot x + C$.

Ответ: $\tan x - \cot x + C$.

8) Данное выражение представляет собой сумму двух интегралов. Найдем каждый из них.

Первый интеграл: $\int 5\sqrt{x}dx = 5\int x^{1/2}dx = 5 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C_1 = 5 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C_1 = \frac{10}{3}x^{3/2} + C_1$.

Второй интеграл: $\int \frac{10dx}{\cos^2 x} = 10 \int \frac{1}{\cos^2 x} dx = 10\tan x + C_2$.

Сумма интегралов равна сумме их результатов:

$\frac{10}{3}x^{3/2} + 10\tan x + C$, где $C = C_1 + C_2$.

Ответ: $\frac{10}{3}x^{3/2} + 10\tan x + C$.

9) Данное выражение представляет собой разность двух интегралов. Найдем каждый из них.

Первый интеграл: $\int \frac{5dx}{\sin^2 x} = 5\int \frac{1}{\sin^2 x} dx = 5(-\cot x) + C_1 = -5\cot x + C_1$.

Второй интеграл: $\int \frac{6}{x\sqrt{x}} dx = \int 6x^{-3/2} dx = 6 \cdot \frac{x^{-3/2+1}}{-3/2+1} + C_2 = 6 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C_2 = -12x^{-1/2} + C_2 = -\frac{12}{\sqrt{x}} + C_2$.

Разность интегралов равна разности их результатов:

$(-5\cot x) - (-\frac{12}{\sqrt{x}}) + C = -5\cot x + \frac{12}{\sqrt{x}} + C$, где $C = C_1 - C_2$.

Ответ: $-5\cot x + \frac{12}{\sqrt{x}} + C$.