Номер 1.5, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.5. С помощью производной проверьте выполнение следующего равенства:

1) $\int \left(-\frac{6}{x^4}\right) dx = \frac{2}{x^3} + C;$

2) $\int \left(8x^3+\frac{1}{2x^2}\right) dx = 2x^4-\frac{1}{2x}+C;$

3) $\int (x-4)(x+4) dx = \frac{x^3}{3}-16x+C.$

1) Чтобы проверить равенство $\int(-\frac{6}{x^4})dx = \frac{2}{x^3} + C$, нужно найти производную от его правой части. По определению неопределенного интеграла, производная от первообразной $F(x) + C$ должна быть равна подынтегральной функции $f(x)$.

В данном случае $F(x) = \frac{2}{x^3} + C$ и $f(x) = -\frac{6}{x^4}$.

Находим производную от $F(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$(\frac{2}{x^3} + C)' = (2x^{-3} + C)' = (2x^{-3})' + (C)' = 2 \cdot (-3)x^{-3-1} + 0 = -6x^{-4} = -\frac{6}{x^4}$.

Производная правой части $(-\frac{6}{x^4})$ совпадает с подынтегральной функцией. Следовательно, равенство выполняется.

Ответ: Равенство верно.

2) Проверим равенство $\int(8x^3 + \frac{1}{2x^2})dx = 2x^4 - \frac{1}{2x} + C$. Для этого найдем производную от правой части $F(x) = 2x^4 - \frac{1}{2x} + C$. Подынтегральная функция $f(x) = 8x^3 + \frac{1}{2x^2}$.

Найдем производную, представив $\frac{1}{2x}$ как $\frac{1}{2}x^{-1}$ и применив правила дифференцирования:

$(2x^4 - \frac{1}{2x} + C)' = (2x^4 - \frac{1}{2}x^{-1} + C)' = (2x^4)' - (\frac{1}{2}x^{-1})' + (C)' = 2 \cdot 4x^{4-1} - \frac{1}{2} \cdot (-1)x^{-1-1} + 0 = 8x^3 + \frac{1}{2}x^{-2} = 8x^3 + \frac{1}{2x^2}$.

Полученный результат $(8x^3 + \frac{1}{2x^2})$ совпадает с подынтегральной функцией. Значит, равенство выполняется.

Ответ: Равенство верно.

3) Проверим равенство $\int(x-4)(x+4)dx = \frac{x^3}{3} - 16x + C$. Сначала упростим подынтегральное выражение $f(x) = (x-4)(x+4)$, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$f(x) = (x-4)(x+4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.

Теперь нужно проверить, что производная от правой части $F(x) = \frac{x^3}{3} - 16x + C$ равна полученной функции $f(x) = x^2 - 16$.

Находим производную:

$(\frac{x^3}{3} - 16x + C)' = (\frac{1}{3}x^3)' - (16x)' + (C)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 16 \cdot 1 + 0 = x^2 - 16$.

Производная правой части $(x^2 - 16)$ совпадает с подынтегральной функцией. Следовательно, исходное равенство выполняется.

Ответ: Равенство верно.