Номер 1.8, страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.8. Восстановите функцию $f(x)$ по ее известной производной $f'(x):$

1) $5x + 3x^{-4}$

2) $4x(x^2 - 1)$

3) $(x - 3)^2$

4) $x \left( 6x + \frac{4}{x^4} \right)$

5) $\left( x + \frac{2}{x} \right)^2$

6) $x \left( 3x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^3} \right)$

7) $6\sqrt{x} - \frac{1}{x^2}$

8) $\frac{2}{\sqrt{x}} - 7x^2\sqrt{x}$

9) $5(\sqrt{x})^3 - \frac{3x}{\sqrt{x}}$

1) Чтобы восстановить функцию $f(x)$ по ее производной $f'(x) = 5x + 3x^{-4}$, необходимо найти неопределенный интеграл (первообразную) от $f'(x)$.

$f(x) = \int(5x + 3x^{-4}) \,dx$

Используя свойство линейности интеграла и формулу для степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$f(x) = 5 \int x^1 \,dx + 3 \int x^{-4} \,dx = 5 \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3 \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = 5 \frac{x^2}{2} + 3 \frac{x^{-3}}{-3} + C = \frac{5}{2}x^2 - x^{-3} + C$

Где $\text{C}$ – произвольная постоянная.

Ответ: $f(x) = \frac{5}{2}x^2 - \frac{1}{x^3} + C$.

2) Дана производная $f'(x) = 4x(x^2 - 1)$. Сначала раскроем скобки, чтобы упростить выражение.

$f'(x) = 4x^3 - 4x$

Теперь найдем интеграл от этого выражения:

$f(x) = \int(4x^3 - 4x) \,dx = 4 \int x^3 \,dx - 4 \int x \,dx$

$f(x) = 4 \frac{x^{3+1}}{3+1} - 4 \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 4 \frac{x^4}{4} - 4 \frac{x^2}{2} + C = x^4 - 2x^2 + C$

Ответ: $f(x) = x^4 - 2x^2 + C$.

3) Дана производная $f'(x) = (x - 3)^2$. Раскроем квадрат разности.

$f'(x) = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

Интегрируем полученный многочлен:

$f(x) = \int(x^2 - 6x + 9) \,dx = \int x^2 \,dx - 6 \int x \,dx + 9 \int dx$

$f(x) = \frac{x^3}{3} - 6 \frac{x^2}{2} + 9x + C = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x + C$

Ответ: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 9x + C$.

4) Дана производная $f'(x) = x(6x + \frac{4}{x^4})$. Упростим выражение, раскрыв скобки.

$f'(x) = x \cdot 6x + x \cdot \frac{4}{x^4} = 6x^2 + \frac{4}{x^3} = 6x^2 + 4x^{-3}$

Найдем первообразную:

$f(x) = \int(6x^2 + 4x^{-3}) \,dx = 6 \int x^2 \,dx + 4 \int x^{-3} \,dx$

$f(x) = 6 \frac{x^3}{3} + 4 \frac{x^{-2}}{-2} + C = 2x^3 - 2x^{-2} + C$

Ответ: $f(x) = 2x^3 - \frac{2}{x^2} + C$.

5) Дана производная $f'(x) = (x + \frac{2}{x})^2$. Раскроем квадрат суммы.

$f'(x) = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = x^2 + 4 + \frac{4}{x^2} = x^2 + 4 + 4x^{-2}$

Интегрируем полученное выражение:

$f(x) = \int(x^2 + 4 + 4x^{-2}) \,dx = \int x^2 \,dx + \int 4 \,dx + 4 \int x^{-2} \,dx$

$f(x) = \frac{x^3}{3} + 4x + 4 \frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{3}x^3 + 4x - \frac{4}{x} + C$

Ответ: $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 4x - \frac{4}{x} + C$.

6) Дана производная $f'(x) = x(3x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$. Упростим выражение.

$f'(x) = 3x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 2x \cdot x^{-\frac{1}{3}} = 3x^{1+\frac{1}{2}} - 2x^{1-\frac{1}{3}} = 3x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{2}{3}}$

Найдем интеграл:

$f(x) = \int(3x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{2}{3}}) \,dx = 3 \int x^{\frac{3}{2}} \,dx - 2 \int x^{\frac{2}{3}} \,dx$

$f(x) = 3 \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} - 2 \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C = 3 \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 2 \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{6}{5}x^{\frac{5}{2}} - \frac{6}{5}x^{\frac{5}{3}} + C$

Ответ: $f(x) = \frac{6}{5}x^{\frac{5}{2}} - \frac{6}{5}x^{\frac{5}{3}} + C$.

7) Дана производная $f'(x) = 6\sqrt{x} - \frac{1}{x^2}$. Представим выражение в виде степеней $\text{x}$.

$f'(x) = 6x^{\frac{1}{2}} - x^{-2}$

Интегрируем:

$f(x) = \int(6x^{\frac{1}{2}} - x^{-2}) \,dx = 6 \int x^{\frac{1}{2}} \,dx - \int x^{-2} \,dx$

$f(x) = 6 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^{-1}}{-1} + C = 6 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + x^{-1} + C = 4x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{x} + C$

Ответ: $f(x) = 4x\sqrt{x} + \frac{1}{x} + C$.

8) Дана производная $f'(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} - 7x^2\sqrt{x}$. Перепишем ее в степенном виде.

$f'(x) = 2x^{-\frac{1}{2}} - 7x^2x^{\frac{1}{2}} = 2x^{-\frac{1}{2}} - 7x^{\frac{5}{2}}$

Найдем первообразную:

$f(x) = \int(2x^{-\frac{1}{2}} - 7x^{\frac{5}{2}}) \,dx = 2 \int x^{-\frac{1}{2}} \,dx - 7 \int x^{\frac{5}{2}} \,dx$

$f(x) = 2 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} - 7 \frac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}} + C = 4x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot \frac{2}{7}x^{\frac{7}{2}} + C = 4x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{7}{2}} + C$

Ответ: $f(x) = 4\sqrt{x} - 2x^3\sqrt{x} + C$.

9) Дана производная $f'(x) = 5(\sqrt{x})^3 - \frac{3x}{\sqrt{x}}$. Упростим выражение, используя свойства степеней.

$f'(x) = 5(x^{\frac{1}{2}})^3 - 3\frac{x^1}{x^{\frac{1}{2}}} = 5x^{\frac{3}{2}} - 3x^{1-\frac{1}{2}} = 5x^{\frac{3}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}$

Интегрируем полученное выражение:

$f(x) = \int(5x^{\frac{3}{2}} - 3x^{\frac{1}{2}}) \,dx = 5 \int x^{\frac{3}{2}} \,dx - 3 \int x^{\frac{1}{2}} \,dx$

$f(x) = 5 \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 3 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 5 \cdot \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = 2x^{\frac{5}{2}} - 2x^{\frac{3}{2}} + C$

Ответ: $f(x) = 2x^2\sqrt{x} - 2x\sqrt{x} + C$.