Номер 1.14, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

В задачах 1.13-1.16 дается график производной $y = f'(x)$ функции $y = f(x)$. Постройте два варианта графика функции $y = f(x)$. По графику производной найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$.

1.14. График: $y = f'(x)$

1.14. По графику производной найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$

На изображении дан график производной функции $y = f'(x)$. Этот график представляет собой прямую линию, которая проходит через начало координат $(0, 0)$ и, например, через точку $(1, 1)$. Это означает, что уравнение для производной имеет вид $f'(x) = x$.

Промежутки возрастания и убывания функции $f(x)$ определяются знаком ее производной $f'(x)$:

• Функция $f(x)$ возрастает, когда ее производная $f'(x)$ положительна.
• Функция $f(x)$ убывает, когда ее производная $f'(x)$ отрицательна.

Проанализируем знак выражения $f'(x) = x$:

• $f'(x) > 0$ при $x > 0$. Следовательно, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $(0; +\infty)$.
• $f'(x) < 0$ при $x < 0$. Следовательно, функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.
• При $x = 0$ производная $f'(0) = 0$. В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс, значит, $x=0$ является точкой минимума функции $f(x)$.

Ответ: функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $(0; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0)$.

Постройте два варианта графика функции $y = f(x)$

Чтобы найти общий вид функции $f(x)$, необходимо найти первообразную (проинтегрировать) ее производную $f'(x) = x$:

$f(x) = \int f'(x) \,dx = \int x \,dx = \frac{x^2}{2} + C$

где $\text{C}$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

Это уравнение описывает семейство парабол, ветви которых направлены вверх. Вершина каждой такой параболы находится в точке $(0, C)$. Все функции этого семейства имеют одинаковые промежутки возрастания и убывания, как было найдено выше. Постоянная $\text{C}$ определяет, на какую величину парабола смещена по вертикали относительно начала координат.

Для построения двух вариантов графика необходимо выбрать два любых различных значения для константы $\text{C}$.

• Вариант 1: Пусть $C = 0$. Тогда функция имеет вид $y = f(x) = \frac{x^2}{2}$. Это парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$.
• Вариант 2: Пусть $C = 1$. Тогда функция имеет вид $y = f(x) = \frac{x^2}{2} + 1$. Это такая же парабола, но смещенная на 1 единицу вверх по оси ординат. Ее вершина находится в точке $(0, 1)$.

Таким образом, два возможных графика — это параболы с одинаковой формой и осью симметрии $x=0$, но сдвинутые друг относительно друга по вертикали.

Ответ: два варианта графика функции $y=f(x)$ — это, например, параболы $y = \frac{x^2}{2}$ (вершина в $(0,0)$) и $y = \frac{x^2}{2} + 1$ (вершина в $(0,1)$).