Номер 1.20, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.20. Вычислите интеграл:

1) $\int \frac{z^3 + 2z}{z\sqrt{z}} dz$;

2) $\int (z+2)^2 (z^2 + 2)dz$.

1)

Для вычисления интеграла $ \int \frac{z^3+2z}{z\sqrt{z}}dz $ сначала упростим подынтегральное выражение.

Преобразуем знаменатель: $ z\sqrt{z} = z^1 \cdot z^{\frac{1}{2}} = z^{1+\frac{1}{2}} = z^{\frac{3}{2}} $.

Теперь разделим числитель на знаменатель почленно:

$ \frac{z^3+2z}{z^{\frac{3}{2}}} = \frac{z^3}{z^{\frac{3}{2}}} + \frac{2z}{z^{\frac{3}{2}}} = z^{3-\frac{3}{2}} + 2z^{1-\frac{3}{2}} = z^{\frac{3}{2}} + 2z^{-\frac{1}{2}} $.

Теперь интеграл можно записать в виде суммы двух интегралов:

$ \int (z^{\frac{3}{2}} + 2z^{-\frac{1}{2}})dz = \int z^{\frac{3}{2}}dz + \int 2z^{-\frac{1}{2}}dz $.

Воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции $ \int z^n dz = \frac{z^{n+1}}{n+1} + C $.

$ \int z^{\frac{3}{2}}dz = \frac{z^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} = \frac{z^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5}z^{\frac{5}{2}} $.

$ \int 2z^{-\frac{1}{2}}dz = 2 \cdot \frac{z^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = 2 \cdot \frac{z^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 4z^{\frac{1}{2}} $.

Складываем полученные результаты и добавляем константу интегрирования $\text{C}$:

$ \frac{2}{5}z^{\frac{5}{2}} + 4z^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{5}z^2\sqrt{z} + 4\sqrt{z} + C $.

Ответ: $ \frac{2}{5}z^2\sqrt{z} + 4\sqrt{z} + C $

2)

Для вычисления интеграла $ \int (z+2)^2(z^2+2)dz $ сначала раскроем скобки в подынтегральном выражении.

Возведем в квадрат первую скобку: $ (z+2)^2 = z^2 + 4z + 4 $.

Теперь умножим полученный многочлен на вторую скобку:

$ (z^2 + 4z + 4)(z^2+2) = z^2(z^2+2) + 4z(z^2+2) + 4(z^2+2) $

$ = (z^4 + 2z^2) + (4z^3 + 8z) + (4z^2 + 8) $

Приведем подобные слагаемые:

$ z^4 + 4z^3 + (2z^2 + 4z^2) + 8z + 8 = z^4 + 4z^3 + 6z^2 + 8z + 8 $.

Теперь интегрируем полученный многочлен почленно:

$ \int (z^4 + 4z^3 + 6z^2 + 8z + 8)dz = \int z^4dz + \int 4z^3dz + \int 6z^2dz + \int 8zdz + \int 8dz $.

Используя формулу $ \int z^n dz = \frac{z^{n+1}}{n+1} + C $, получаем:

$ = \frac{z^5}{5} + 4\frac{z^4}{4} + 6\frac{z^3}{3} + 8\frac{z^2}{2} + 8z + C $

$ = \frac{z^5}{5} + z^4 + 2z^3 + 4z^2 + 8z + C $.

Ответ: $ \frac{z^5}{5} + z^4 + 2z^3 + 4z^2 + 8z + C $