Номер 1.27, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.27. Вычислите:

1) $\int \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2 + 1} dx;$

2) $\int (x+3)^7 dx;$

3) $\int \sqrt{x-3} dx;$

4) $\int \frac{x^2 + 4x\sqrt{x} + 4x}{(\sqrt{x}-2)^2} dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int \frac{x^3 - x^2 + x - 1}{x^2 + 1}dx$ сначала упростим подынтегральное выражение. Разложим числитель на множители, группируя слагаемые:

$x^3 - x^2 + x - 1 = x^2(x-1) + 1(x-1) = (x^2+1)(x-1)$.

Теперь подставим это в интеграл и сократим дробь:

$\int \frac{(x^2+1)(x-1)}{x^2+1}dx = \int (x-1)dx$.

Это табличный интеграл:

$\int (x-1)dx = \int x dx - \int 1 dx = \frac{x^2}{2} - x + C$, где $\text{C}$ - произвольная постоянная.

Ответ: $\frac{x^2}{2} - x + C$.

2) Для вычисления интеграла $\int (x+3)^7 dx$ воспользуемся методом замены переменной (или подстановки).

Пусть $t = x+3$. Тогда дифференциал $dt$ равен $d(x+3) = dx$.

Подставим новую переменную в интеграл:

$\int t^7 dt$.

Это степенная функция, интеграл от которой находится по формуле $\int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$:

$\frac{t^8}{8} + C$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $t = x+3$:

$\frac{(x+3)^8}{8} + C$.

Ответ: $\frac{(x+3)^8}{8} + C$.

3) Для вычисления интеграла $\int \sqrt{x-3} dx$ также используем метод замены переменной.

Пусть $t = x-3$. Тогда $dt = dx$.

Интеграл принимает вид:

$\int \sqrt{t} dt = \int t^{1/2} dt$.

Используем формулу для интеграла степенной функции:

$\frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}t^{3/2} + C$.

Выполним обратную замену $t = x-3$:

$\frac{2}{3}(x-3)^{3/2} + C$.

Ответ: $\frac{2}{3}(x-3)^{3/2} + C$.

4) Для вычисления интеграла $\int \frac{x^2 + 4x\sqrt{x} + 4x}{(\sqrt{x}-2)^2}dx$ сначала преобразуем числитель.

$x^2 + 4x\sqrt{x} + 4x = x(x + 4\sqrt{x} + 4)$.

Выражение в скобках является полным квадратом: $x + 4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 2 + 2^2 = (\sqrt{x}+2)^2$.

Таким образом, числитель равен $x(\sqrt{x}+2)^2$.

Интеграл принимает вид: $\int \frac{x(\sqrt{x}+2)^2}{(\sqrt{x}-2)^2}dx$.

Сделаем замену переменной: пусть $t = \sqrt{x}$, тогда $x = t^2$ и $dx = 2t dt$.

Подставляем в интеграл:

$\int \frac{t^2(t+2)^2}{(t-2)^2} \cdot 2t dt = 2 \int \frac{t^3(t+2)^2}{(t-2)^2} dt = 2 \int \frac{t^3(t^2+4t+4)}{(t-2)^2} dt = 2 \int \frac{t^5+4t^4+4t^3}{t^2-4t+4} dt$.

Так как степень числителя больше степени знаменателя, выполним деление многочленов столбиком:

$\frac{t^5+4t^4+4t^3}{t^2-4t+4} = t^3+8t^2+32t+96 + \frac{256t-384}{(t-2)^2}$.

Разложим оставшуюся дробь на простейшие: $\frac{256t-384}{(t-2)^2} = \frac{A}{t-2} + \frac{B}{(t-2)^2}$.

$A(t-2)+B = 256t-384$. Из равенства коэффициентов при $\text{t}$ следует $A=256$. Для нахождения $\text{B}$ подставим $t=2$: $B = 256 \cdot 2 - 384 = 512 - 384 = 128$.

Итак, подынтегральное выражение равно: $t^3+8t^2+32t+96 + \frac{256}{t-2} + \frac{128}{(t-2)^2}$.

Интегрируем полученное выражение, умноженное на 2:

$2 \int (t^3+8t^2+32t+96 + \frac{256}{t-2} + \frac{128}{(t-2)^2}) dt = 2 \left( \frac{t^4}{4} + \frac{8t^3}{3} + 16t^2 + 96t + 256\ln|t-2| - \frac{128}{t-2} \right) + C$.

Умножая на 2, получаем: $\frac{t^4}{2} + \frac{16t^3}{3} + 32t^2 + 192t + 512\ln|t-2| - \frac{256}{t-2} + C$.

Выполним обратную замену $t = \sqrt{x}$:

$\frac{(\sqrt{x})^4}{2} + \frac{16(\sqrt{x})^3}{3} + 32(\sqrt{x})^2 + 192\sqrt{x} + 512\ln|\sqrt{x}-2| - \frac{256}{\sqrt{x}-2} + C$.

Ответ: $\frac{x^2}{2} + \frac{16x\sqrt{x}}{3} + 32x + 192\sqrt{x} + 512\ln|\sqrt{x}-2| - \frac{256}{\sqrt{x}-2} + C$.