Номер 1.26, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Прикладная задача

1.26. Мяч подбросили вертикально вверх с высоты 2 м, придав ему начальную скорость 6 м/с. Принимая ускорение свободного падения равным $10 \text{ м/с}^2$, выполните следующее задание:

• запишите функцию $h(t)$, определяющую зависимость расстояния между мячом и землей от времени;
• определите, через какое время мяч упадет на землю.
• вычислите, на какую высоту поднимется мяч.

запишите функцию h(t), определяющую зависимость расстояния между мячом и землей от времени;

Движение тела, брошенного вертикально вверх, описывается уравнением равноускоренного движения. Общая формула для высоты $\text{h}$ в момент времени $\text{t}$ выглядит так:

$h(t) = h_0 + v_0 t + \frac{at^2}{2}$

где $h_0$ — начальная высота, $v_0$ — начальная скорость, $\text{a}$ — ускорение.

В нашем случае:

• Начальная высота $h_0 = 2$ м.
• Начальная скорость $v_0 = 6$ м/с (направлена вверх, поэтому знак положительный).
• Ускорение — это ускорение свободного падения $\text{g}$, которое направлено вниз. Поэтому $a = -g = -10$ м/с².

Подставим эти значения в формулу:

$h(t) = 2 + 6t + \frac{(-10)t^2}{2}$

$h(t) = 2 + 6t - 5t^2$

Для удобства запишем функцию в стандартном виде для многочлена:

$h(t) = -5t^2 + 6t + 2$

Ответ: $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$.

определите, через какое время мяч упадет на землю.

Мяч упадет на землю, когда его высота $h(t)$ станет равна нулю. Таким образом, нам нужно решить квадратное уравнение:

$-5t^2 + 6t + 2 = 0$

Для решения используем формулу корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.

Коэффициенты уравнения: $a = -5$, $b = 6$, $c = 2$.

Найдем дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot (-5) \cdot 2 = 36 + 40 = 76$

Теперь найдем корни уравнения:

$t = \frac{-6 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot (-5)} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 19}}{-10} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{19}}{-10}$

Получаем два корня:

$t_1 = \frac{-6 + 2\sqrt{19}}{-10} = \frac{3 - \sqrt{19}}{5}$

$t_2 = \frac{-6 - 2\sqrt{19}}{-10} = \frac{3 + \sqrt{19}}{5}$

Поскольку $\sqrt{19} \approx 4.36$, то $t_1 = \frac{3 - 4.36}{5} \approx -0.272$. Время не может быть отрицательным, поэтому этот корень не имеет физического смысла.

Второй корень $t_2 = \frac{3 + 4.36}{5} \approx \frac{7.36}{5} \approx 1.472$ с.

Этот корень положителен и является решением задачи.

Ответ: мяч упадет на землю примерно через 1.47 секунды (точное значение $\frac{3 + \sqrt{19}}{5}$ с).

вычислите, на какую высоту поднимется мяч.

Максимальная высота достигается в тот момент времени, когда скорость мяча становится равной нулю. Функция высоты $h(t) = -5t^2 + 6t + 2$ является параболой с ветвями, направленными вниз. Максимальное значение достигается в вершине параболы.

Время подъема до максимальной высоты $t_{max}$ можно найти по формуле для абсциссы вершины параболы:

$t_{max} = -\frac{b}{2a}$

Подставим наши значения $a = -5$ и $b = 6$:

$t_{max} = -\frac{6}{2 \cdot (-5)} = -\frac{6}{-10} = 0.6$ с.

Теперь, чтобы найти максимальную высоту $h_{max}$, подставим это значение времени в нашу функцию высоты:

$h_{max} = h(0.6) = -5 \cdot (0.6)^2 + 6 \cdot 0.6 + 2$

$h_{max} = -5 \cdot 0.36 + 3.6 + 2$

$h_{max} = -1.8 + 3.6 + 2$

$h_{max} = 1.8 + 2 = 3.8$ м.

Ответ: 3.8 м.