Номер 1.19, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.19. Докажите, что функция $y = F(x)$ является первообразной для функции $y = f(x)$:

1) $F(x) = 7x^5 + 5\cos^2 3x - 2$, $f(x) = 35x^4 - 15\sin 6x$;

2) $F(x) = 6x^4 + 5\sin^2 2x + 5$, $f(x) = 24x^3 + 10\sin 4x$.

Чтобы доказать, что функция $y=F(x)$ является первообразной для функции $y=f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и показать, что она равна $f(x)$, то есть $F'(x)=f(x)$.

1) Даны функции $F(x) = 7x^5 + 5\cos^2(3x) - 2$ и $f(x) = 35x^4 - 15\sin(6x)$.

Найдем производную функции $F(x)$ по правилу дифференцирования суммы:

$F'(x) = (7x^5 + 5\cos^2(3x) - 2)' = (7x^5)' + (5\cos^2(3x))' - (2)'$.

Вычислим производные каждого слагаемого:

Производная степенной функции: $(7x^5)' = 7 \cdot 5x^{5-1} = 35x^4$.

Производная константы: $(2)' = 0$.

Для нахождения производной сложного слагаемого $5\cos^2(3x)$, сначала преобразуем его, используя формулу понижения степени $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

$5\cos^2(3x) = 5 \cdot \frac{1 + \cos(2 \cdot 3x)}{2} = \frac{5}{2}(1 + \cos(6x)) = \frac{5}{2} + \frac{5}{2}\cos(6x)$.

Теперь найдем производную этого выражения, используя правило дифференцирования сложной функции:

$(\frac{5}{2} + \frac{5}{2}\cos(6x))' = (\frac{5}{2})' + (\frac{5}{2}\cos(6x))' = 0 + \frac{5}{2}(-\sin(6x)) \cdot (6x)' = \frac{5}{2}(-\sin(6x)) \cdot 6 = -15\sin(6x)$.

Теперь соберем все полученные производные вместе:

$F'(x) = 35x^4 - 15\sin(6x) - 0 = 35x^4 - 15\sin(6x)$.

Сравнивая полученный результат с функцией $f(x) = 35x^4 - 15\sin(6x)$, мы видим, что они совпадают: $F'(x) = f(x)$. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, так как $F'(x) = (7x^5 + 5\cos^2(3x) - 2)' = 35x^4 - 15\sin(6x) = f(x)$.

2) Даны функции $F(x) = 6x^4 + 5\sin^2(2x) + 5$ и $f(x) = 24x^3 + 10\sin(4x)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (6x^4 + 5\sin^2(2x) + 5)' = (6x^4)' + (5\sin^2(2x))' + (5)'$.

Вычислим производные каждого слагаемого:

$(6x^4)' = 6 \cdot 4x^{4-1} = 24x^3$.

$(5)' = 0$.

Для нахождения производной $5\sin^2(2x)$ используем формулу понижения степени $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

$5\sin^2(2x) = 5 \cdot \frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{5}{2}(1 - \cos(4x)) = \frac{5}{2} - \frac{5}{2}\cos(4x)$.

Найдем производную этого выражения:

$(\frac{5}{2} - \frac{5}{2}\cos(4x))' = (\frac{5}{2})' - (\frac{5}{2}\cos(4x))' = 0 - \frac{5}{2}(-\sin(4x)) \cdot (4x)' = \frac{5}{2}\sin(4x) \cdot 4 = 10\sin(4x)$.

Соберем все полученные производные вместе:

$F'(x) = 24x^3 + 10\sin(4x) + 0 = 24x^3 + 10\sin(4x)$.

Сравнивая результат с $f(x) = 24x^3 + 10\sin(4x)$, мы видим, что $F'(x) = f(x)$. Следовательно, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, так как $F'(x) = (6x^4 + 5\sin^2(2x) + 5)' = 24x^3 + 10\sin(4x) = f(x)$.