Номер 1.17, страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.17. Найдите первообразную для функции $f(x)$:

1) $f(x) = 1.5x^2 - \frac{4}{x^2}$;

2) $f(x) = \frac{4}{3\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^4} + 5x^{\frac{3}{2}}.$

1)

Чтобы найти первообразную для функции $f(x) = 1,5x^2 - \frac{4}{x^2}$, нужно найти ее неопределенный интеграл.

Сначала представим функцию в виде, удобном для интегрирования, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$f(x) = 1,5x^2 - 4x^{-2}$.

Теперь воспользуемся правилом нахождения первообразной для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ и правилом интегрирования суммы функций.

Первообразная $F(x)$ будет равна:

$F(x) = \int (1,5x^2 - 4x^{-2}) dx = \int 1,5x^2 dx - \int 4x^{-2} dx$

$F(x) = 1,5 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 4 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C$

$F(x) = 1,5 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C$

$F(x) = 0,5x^3 + 4x^{-1} + C$

Запишем результат в виде, похожем на исходное выражение:

$F(x) = 0,5x^3 + \frac{4}{x} + C$

Ответ: $F(x) = 0,5x^3 + \frac{4}{x} + C$.

2)

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{4}{3(x^{\frac{1}{3}})^4} + 5x^{\frac{3}{2}}$.

Сначала упростим выражение для функции, используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$:

Первый член: $\frac{4}{3(x^{\frac{1}{3}})^4} = \frac{4}{3x^{\frac{1}{3} \cdot 4}} = \frac{4}{3x^{\frac{4}{3}}} = \frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

Таким образом, функция имеет вид: $f(x) = \frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}} + 5x^{\frac{3}{2}}$.

Теперь найдем первообразную, используя правило $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$F(x) = \int (\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}} + 5x^{\frac{3}{2}}) dx = \int \frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}} dx + \int 5x^{\frac{3}{2}} dx$

$F(x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1} + 5 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + C$

$F(x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C$

Упростим полученное выражение:

$F(x) = \frac{4}{3} \cdot (-3)x^{-\frac{1}{3}} + 5 \cdot \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C$

$F(x) = -4x^{-\frac{1}{3}} + 2x^{\frac{5}{2}} + C$

Результат можно также записать с использованием корней:

$F(x) = 2\sqrt{x^5} - \frac{4}{\sqrt[3]{x}} + C$

Ответ: $F(x) = 2x^{\frac{5}{2}} - 4x^{-\frac{1}{3}} + C$.