Номер 1.23, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.23. Вычислите:

1) $\int \frac{2x^3 - \sqrt{x}}{x} dx;$

2) $\int \frac{10x^2 + 3x + 4}{\sqrt{x}} dx;$

3) $\int \frac{(5x - 3)^2}{\sqrt{x}} dx;$

4) $\int \frac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}} dx.$

1)

Для вычисления интеграла $ \int \frac{2x^3 - \sqrt{x}}{x} dx $ сначала упростим подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

$ \frac{2x^3 - \sqrt{x}}{x} = \frac{2x^3}{x} - \frac{\sqrt{x}}{x} = 2x^2 - x^{\frac{1}{2}-1} = 2x^2 - x^{-\frac{1}{2}} $

Теперь найдем интеграл от полученной функции, используя правило интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \int (2x^2 - x^{-\frac{1}{2}}) dx = \int 2x^2 dx - \int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = 2 \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3}x^3 - 2x^{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3}x^3 - 2\sqrt{x} + C $

Ответ: $ \frac{2}{3}x^3 - 2\sqrt{x} + C $

2)

Для вычисления интеграла $ \int \frac{10x^2 + 3x + 4}{\sqrt{x}} dx $ сначала упростим подынтегральное выражение, представив $ \sqrt{x} $ как $ x^{\frac{1}{2}} $ и разделив каждый член числителя на знаменатель:

$ \frac{10x^2 + 3x + 4}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{10x^2}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3x}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}} = 10x^{2-\frac{1}{2}} + 3x^{1-\frac{1}{2}} + 4x^{-\frac{1}{2}} = 10x^{\frac{3}{2}} + 3x^{\frac{1}{2}} + 4x^{-\frac{1}{2}} $

Теперь проинтегрируем полученное выражение почленно:

$ \int (10x^{\frac{3}{2}} + 3x^{\frac{1}{2}} + 4x^{-\frac{1}{2}}) dx = 10 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + 4 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C $

$ = 10 \cdot \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 4 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 10 \cdot \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} + C = 4x^{\frac{5}{2}} + 2x^{\frac{3}{2}} + 8\sqrt{x} + C $

Результат можно также записать в виде: $ (4x^2 + 2x + 8)\sqrt{x} + C $.

Ответ: $ 4x^{\frac{5}{2}} + 2x^{\frac{3}{2}} + 8\sqrt{x} + C $

3)

Для вычисления интеграла $ \int \frac{(5x - 3)^2}{\sqrt{x}} dx $ сначала преобразуем подынтегральное выражение. Раскроем квадрат в числителе:

$ (5x - 3)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 3 + 3^2 = 25x^2 - 30x + 9 $

Теперь разделим полученный многочлен на $ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $:

$ \frac{25x^2 - 30x + 9}{x^{\frac{1}{2}}} = 25x^{2-\frac{1}{2}} - 30x^{1-\frac{1}{2}} + 9x^{-\frac{1}{2}} = 25x^{\frac{3}{2}} - 30x^{\frac{1}{2}} + 9x^{-\frac{1}{2}} $

Интегрируем почленно:

$ \int (25x^{\frac{3}{2}} - 30x^{\frac{1}{2}} + 9x^{-\frac{1}{2}}) dx = 25 \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 30 \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 9 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C $

$ = 25 \cdot \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} - 30 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 9 \cdot 2x^{\frac{1}{2}} + C = 10x^{\frac{5}{2}} - 20x^{\frac{3}{2}} + 18\sqrt{x} + C $

Результат можно также записать в виде: $ (10x^2 - 20x + 18)\sqrt{x} + C $.

Ответ: $ 10x^{\frac{5}{2}} - 20x^{\frac{3}{2}} + 18\sqrt{x} + C $

4)

Для вычисления интеграла $ \int \frac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}} dx $ сначала упростим числитель, раскрыв скобки:

$ (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 3 = x + 2\sqrt{x} - 3 $

Теперь разделим полученное выражение на $ \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} $:

$ \frac{x + 2\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}} = \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{1-\frac{1}{2}} + 2 - 3x^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} + 2 - 3x^{-\frac{1}{2}} $

Интегрируем полученную функцию почленно:

$ \int (x^{\frac{1}{2}} + 2 - 3x^{-\frac{1}{2}}) dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + 2x - 3 \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C $

$ = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + 2x - 3 \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + 2x - 6x^{\frac{1}{2}} + C $

Результат можно также записать в виде: $ \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2x - 6\sqrt{x} + C $.

Ответ: $ \frac{2}{3}x\sqrt{x} + 2x - 6\sqrt{x} + C $