Номер 1.24, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.24. Найдите первообразную для функции $f(x)$, график которой проходит через точку A:

1) $f(x) = \frac{\cos 2x}{\cos x + \sin x}, A\left(\frac{5\pi}{4}; \sqrt{2}\right)$

2) $f(x) = \frac{\cos 2x}{\cos x - \sin x}, A\left(\frac{7\pi}{4}; 2\sqrt{2}\right)$

1)

Первым шагом упростим данную функцию $f(x)$, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x} $ и формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ f(x) = \frac{\cos{2x}}{\cos{x} + \sin{x}} = \frac{\cos^2{x} - \sin^2{x}}{\cos{x} + \sin{x}} = \frac{(\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x})}{\cos{x} + \sin{x}} $

При условии, что $ \cos{x} + \sin{x} \neq 0 $, мы можем сократить дробь:

$ f(x) = \cos{x} - \sin{x} $

Теперь найдем общий вид первообразной $ F(x) $ для функции $ f(x) $ путем интегрирования:

$ F(x) = \int (\cos{x} - \sin{x}) dx = \int \cos{x} dx - \int \sin{x} dx = \sin{x} - (-\cos{x}) + C = \sin{x} + \cos{x} + C $, где $ C $ — константа.

Чтобы найти конкретную первообразную, график которой проходит через точку $ A(\frac{5\pi}{4}; \sqrt{2}) $, подставим координаты этой точки в уравнение для $ F(x) $. Это означает, что $ F(\frac{5\pi}{4}) = \sqrt{2} $.

$ \sqrt{2} = \sin(\frac{5\pi}{4}) + \cos(\frac{5\pi}{4}) + C $

Вычислим значения синуса и косинуса:

$ \sin(\frac{5\pi}{4}) = \sin(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

Подставим эти значения обратно в уравнение:

$ \sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + C $

$ \sqrt{2} = -\sqrt{2} + C $

Отсюда находим константу $ C $:

$ C = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} $

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$ F(x) = \sin{x} + \cos{x} + 2\sqrt{2} $

Ответ: $ F(x) = \sin{x} + \cos{x} + 2\sqrt{2} $

2)

Аналогично первому пункту, упростим функцию $f(x)$, используя те же тригонометрические тождества:

$ f(x) = \frac{\cos{2x}}{\cos{x} - \sin{x}} = \frac{\cos^2{x} - \sin^2{x}}{\cos{x} - \sin{x}} = \frac{(\cos{x} - \sin{x})(\cos{x} + \sin{x})}{\cos{x} - \sin{x}} $

При условии, что $ \cos{x} - \sin{x} \neq 0 $, мы можем сократить дробь:

$ f(x) = \cos{x} + \sin{x} $

Далее найдем общий вид первообразной $ F(x) $ для функции $ f(x) $:

$ F(x) = \int (\cos{x} + \sin{x}) dx = \int \cos{x} dx + \int \sin{x} dx = \sin{x} - \cos{x} + C $, где $ C $ — константа.

График искомой первообразной проходит через точку $ A(\frac{7\pi}{4}; 2\sqrt{2}) $, следовательно $ F(\frac{7\pi}{4}) = 2\sqrt{2} $. Подставим координаты точки в уравнение для $ F(x) $:

$ 2\sqrt{2} = \sin(\frac{7\pi}{4}) - \cos(\frac{7\pi}{4}) + C $

Вычислим значения синуса и косинуса:

$ \sin(\frac{7\pi}{4}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

$ \cos(\frac{7\pi}{4}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Подставим эти значения в уравнение:

$ 2\sqrt{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + C $

$ 2\sqrt{2} = -\sqrt{2} + C $

Отсюда находим константу $ C $:

$ C = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2} $

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$ F(x) = \sin{x} - \cos{x} + 3\sqrt{2} $

Ответ: $ F(x) = \sin{x} - \cos{x} + 3\sqrt{2} $