Номер 1.21, страница 24, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.21. Найдите интеграл, предварительно преобразовав подынтегральную функцию:

1) $ \int (3x - 5\sqrt{x})^2 dx; $

2) $ \int \sqrt{x} (3 - \sqrt{x})^2 dx; $

3) $ \int (\sqrt{x} + 1)\left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 3\right) dx; $

4) $ \int \sqrt{x} \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 dx. $

1)

Чтобы найти интеграл $\int (3x - 5\sqrt{x})^2 dx$, сначала преобразуем подынтегральную функцию, раскрыв квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3x - 5\sqrt{x})^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 5\sqrt{x} + (5\sqrt{x})^2 = 9x^2 - 30x\sqrt{x} + 25x$.

Запишем $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$, тогда $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$. Подынтегральная функция примет вид:

$9x^2 - 30x^{3/2} + 25x$.

Теперь интегрируем полученное выражение почленно, используя формулу неопределенного интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$\int (9x^2 - 30x^{3/2} + 25x) dx = 9\int x^2 dx - 30\int x^{3/2} dx + 25\int x dx = 9 \cdot \frac{x^3}{3} - 30 \cdot \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + 25 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = 3x^3 - 30 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} + \frac{25}{2}x^2 + C = 3x^3 - 30 \cdot \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{25}{2}x^2 + C = 3x^3 - 12x^{5/2} + \frac{25}{2}x^2 + C$.

Представим результат, используя знаки корня: $x^{5/2} = x^2\sqrt{x}$.

Ответ: $3x^3 - 12x^2\sqrt{x} + \frac{25}{2}x^2 + C$.

2)

Найдем интеграл $\int \sqrt{x}(3 - \sqrt{x})^2 dx$. Преобразуем подынтегральную функцию.

Сначала раскроем квадрат: $(3 - \sqrt{x})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 9 - 6\sqrt{x} + x$.

Затем умножим на $\sqrt{x}$: $\sqrt{x}(9 - 6\sqrt{x} + x) = 9\sqrt{x} - 6\sqrt{x}\sqrt{x} + x\sqrt{x}$.

Используя степени, запишем: $9x^{1/2} - 6x + x^{3/2}$.

Интегрируем полученную функцию почленно:

$\int (9x^{1/2} - 6x + x^{3/2}) dx = 9\int x^{1/2} dx - 6\int x dx + \int x^{3/2} dx = 9 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} - 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} + C = 9 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = 9 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} - 3x^2 + \frac{2}{5}x^{5/2} + C = 6x^{3/2} - 3x^2 + \frac{2}{5}x^{5/2} + C$.

Представим результат, используя знаки корня: $x^{3/2} = x\sqrt{x}$ и $x^{5/2} = x^2\sqrt{x}$.

Ответ: $6x\sqrt{x} - 3x^2 + \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C$.

3)

Найдем интеграл $\int (\sqrt{x} + 1)(\frac{1}{\sqrt{x}} - 3) dx$. Преобразуем подынтегральную функцию, раскрыв скобки:

$(\sqrt{x} + 1)(\frac{1}{\sqrt{x}} - 3) = \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} - 3\sqrt{x} + 1 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} - 3 = 1 - 3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} - 3 = -2 - 3\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Запишем в виде степенных функций: $-2 - 3x^{1/2} + x^{-1/2}$.

Интегрируем полученное выражение почленно:

$\int (-2 - 3x^{1/2} + x^{-1/2}) dx = \int (-2) dx - 3\int x^{1/2} dx + \int x^{-1/2} dx = -2x - 3 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -2x - 3 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = -2x - 3 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C = -2x - 2x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$.

Представим результат, используя знаки корня: $x^{3/2} = x\sqrt{x}$ и $x^{1/2} = \sqrt{x}$.

Ответ: $-2x - 2x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C$.

4)

Найдем интеграл $\int \sqrt{x}(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$. Преобразуем подынтегральную функцию.

Раскроем квадрат: $(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} + (\frac{1}{\sqrt{x}})^2 = x - 2 + \frac{1}{x}$.

Умножим на $\sqrt{x}$: $\sqrt{x}(x - 2 + \frac{1}{x}) = x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{x}$.

Запишем в виде степенных функций: $x^{3/2} - 2x^{1/2} + x^{1/2-1} = x^{3/2} - 2x^{1/2} + x^{-1/2}$.

Интегрируем полученное выражение почленно:

$\int (x^{3/2} - 2x^{1/2} + x^{-1/2}) dx = \int x^{3/2} dx - 2\int x^{1/2} dx + \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} - 2 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^{5/2}}{5/2} - 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} - \frac{4}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$.

Представим результат, используя знаки корня: $x^{5/2} = x^2\sqrt{x}$, $x^{3/2} = x\sqrt{x}$ и $x^{1/2} = \sqrt{x}$.

Ответ: $\frac{2}{5}x^2\sqrt{x} - \frac{4}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C$.