Номер 1.25, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.25. Используя тригонометрические формулы, вычислите:

1) $\int \frac{\cos 2\alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} \,d\alpha$;

2) $\int \operatorname{tg}^2 x \,dx$;

3) $\int \frac{\sin x \,dx}{\sin^4 2x + 2\sin^2 2x \cos^2 2x + \cos^4 2x}$;

4) $\int \frac{1}{2} \sin^2 \frac{y}{2} \,dy$.

1) Для решения данного интеграла воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α)$.

Применим эту формулу к числителю подынтегрального выражения. Числитель представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители: $cos^2(α) - sin^2(α) = (cos(α) - sin(α))(cos(α) + sin(α))$.

Теперь подставим это в интеграл:

$∫ \frac{cos(2α)}{cos(α) - sin(α)} dα = ∫ \frac{cos^2(α) - sin^2(α)}{cos(α) - sin(α)} dα = ∫ \frac{(cos(α) - sin(α))(cos(α) + sin(α))}{cos(α) - sin(α)} dα$

Сократим дробь на $(cos(α) - sin(α))$:

$∫ (cos(α) + sin(α)) dα$

Теперь интегрируем сумму двух функций:

$∫ cos(α) dα + ∫ sin(α) dα = sin(α) - cos(α) + C$

Ответ: $sin(α) - cos(α) + C$

2) Для вычисления интеграла от квадрата тангенса используем основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и секанс: $1 + tg^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$.

Отсюда выразим $tg^2(x)$: $tg^2(x) = \frac{1}{cos^2(x)} - 1$.

Подставим это выражение в интеграл:

$∫ tg^2(x) dx = ∫ (\frac{1}{cos^2(x)} - 1) dx$

Разделим интеграл на два:

$∫ \frac{1}{cos^2(x)} dx - ∫ 1 dx$

Первый интеграл является табличным: $∫ \frac{1}{cos^2(x)} dx = tg(x)$. Второй интеграл также табличный: $∫ 1 dx = x$.

Объединяем результаты:

$tg(x) - x + C$

Ответ: $tg(x) - x + C$

3) Рассмотрим знаменатель подынтегрального выражения: $sin^4(2x) + 2sin^2(2x)cos^2(2x) + cos^4(2x)$.

Это выражение является полным квадратом суммы. Если мы обозначим $a = sin^2(2x)$ и $b = cos^2(2x)$, то выражение примет вид $a^2 + 2ab + b^2$, что равно $(a+b)^2$.

Таким образом, знаменатель равен $(sin^2(2x) + cos^2(2x))^2$.

Используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1$ (в данном случае $θ = 2x$), получаем, что знаменатель равен $(1)^2 = 1$.

Интеграл значительно упрощается:

$∫ \frac{sin(x)}{sin^4(2x) + 2sin^2(2x)cos^2(2x) + cos^4(2x)} dx = ∫ \frac{sin(x)}{1} dx = ∫ sin(x) dx$

Этот интеграл является табличным:

$∫ sin(x) dx = -cos(x) + C$

Ответ: $-cos(x) + C$

4) Для вычисления данного интеграла воспользуемся формулой понижения степени для синуса: $sin^2(θ) = \frac{1 - cos(2θ)}{2}$.

В нашем случае $θ = \frac{y}{2}$, следовательно, $2θ = 2 \cdot \frac{y}{2} = y$.

Подставим это в подынтегральное выражение:

$∫ \frac{1}{2} sin^2(\frac{y}{2}) dy = ∫ \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - cos(y)}{2} dy$

Упростим выражение:

$∫ \frac{1}{4}(1 - cos(y)) dy$

Вынесем константу за знак интеграла и разделим его на два:

$\frac{1}{4} ∫ (1 - cos(y)) dy = \frac{1}{4} (∫ 1 dy - ∫ cos(y) dy)$

Вычислим каждый интеграл:

$∫ 1 dy = y$

$∫ cos(y) dy = sin(y)$

Подставим обратно и добавим константу интегрирования:

$\frac{1}{4}(y - sin(y)) + C = \frac{y}{4} - \frac{sin(y)}{4} + C$

Ответ: $\frac{y}{4} - \frac{sin(y)}{4} + C$