Номер 1.32, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.32. Напишите уравнение кривой, проходящей через точку M(2;1), если известно, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен:

1) абсциссе точки касания;

2) квадрату абсциссы точки касания.

1) Пусть искомое уравнение кривой имеет вид $y=f(x)$. Угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен значению производной $f'(x)$ в этой точке. По условию, угловой коэффициент равен абсциссе точки касания, то есть $\text{x}$. Таким образом, мы получаем дифференциальное уравнение:

$y' = \frac{dy}{dx} = x$

Чтобы найти уравнение кривой $y(x)$, проинтегрируем это выражение:

$y = \int x \,dx = \frac{x^2}{2} + C$

Здесь $\text{C}$ — постоянная интегрирования. Чтобы найти ее значение, воспользуемся тем, что кривая проходит через точку $M(2;1)$. Подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

$1 = \frac{2^2}{2} + C$

$1 = \frac{4}{2} + C$

$1 = 2 + C$

$C = 1 - 2 = -1$

Следовательно, искомое уравнение кривой:

$y = \frac{x^2}{2} - 1$

Ответ: $y = \frac{x^2}{2} - 1$

2) По условию, угловой коэффициент касательной равен квадрату абсциссы точки касания. Это означает, что производная функции $y(x)$ равна $x^2$:

$y' = \frac{dy}{dx} = x^2$

Интегрируем это дифференциальное уравнение, чтобы найти $y(x)$:

$y = \int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3} + C$

где $\text{C}$ — постоянная интегрирования. Используем условие, что кривая проходит через точку $M(2;1)$, чтобы найти $\text{C}$. Подставляем $x=2$ и $y=1$:

$1 = \frac{2^3}{3} + C$

$1 = \frac{8}{3} + C$

$C = 1 - \frac{8}{3} = \frac{3}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{5}{3}$

Таким образом, искомое уравнение кривой имеет вид:

$y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{3}$

Ответ: $y = \frac{x^3}{3} - \frac{5}{3}$