Номер 1.39, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.39. Найдите производную функции:

1) $y = (x - 1)^2 \cdot \sin x;$

2) $y = \frac{\cos 2x}{1 - x^2};$

3) $y = \operatorname{arctg}(x + 1);$

4) $y = (x^2 - 2x + 3) \cdot \sin 2x.$

1) Для функции $y = (x - 1)^2 \cdot \sin x$ мы используем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = (x - 1)^2$ и $v(x) = \sin x$.

Сначала найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$:

Производная $u'(x) = ((x - 1)^2)'$ находится по правилу производной сложной функции: $u'(x) = 2(x - 1)^{2-1} \cdot (x - 1)' = 2(x - 1) \cdot 1 = 2(x - 1)$.

Производная $v'(x) = (\sin x)'$ является табличной: $v'(x) = \cos x$.

Теперь подставляем найденные производные в правило произведения:

$y' = u'v + uv' = 2(x - 1)\sin x + (x - 1)^2\cos x$.

Можно вынести общий множитель $(x - 1)$ для упрощения:

$y' = (x - 1)(2\sin x + (x - 1)\cos x)$.

Ответ: $y' = 2(x - 1)\sin x + (x - 1)^2\cos x$.

2) Для функции $y = \frac{\cos(2x)}{1 - x^2}$ мы используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u(x) = \cos(2x)$ и $v(x) = 1 - x^2$.

Найдем производные для числителя и знаменателя:

Производная числителя $u'(x) = (\cos(2x))'$ (сложная функция): $u'(x) = -\sin(2x) \cdot (2x)' = -2\sin(2x)$.

Производная знаменателя $v'(x) = (1 - x^2)' = -2x$.

Подставляем производные в формулу частного:

$y' = \frac{(-2\sin(2x))(1 - x^2) - (\cos(2x))(-2x)}{(1 - x^2)^2}$.

Упростим выражение в числителе:

$y' = \frac{-2\sin(2x) + 2x^2\sin(2x) + 2x\cos(2x)}{(1 - x^2)^2} = \frac{2x\cos(2x) - 2(1-x^2)\sin(2x)}{(1 - x^2)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{2x\cos(2x) - 2(1-x^2)\sin(2x)}{(1 - x^2)^2}$.

3) Функция $y = \operatorname{arctg}(x + 1)$ является сложной. Мы используем правило производной сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Здесь внешняя функция $f(u) = \operatorname{arctg}(u)$, а внутренняя $g(x) = x + 1$.

Производная внешней функции: $(\operatorname{arctg}(u))' = \frac{1}{1 + u^2}$.

Производная внутренней функции: $(x + 1)' = 1$.

Применяя правило, получаем:

$y' = \frac{1}{1 + (x + 1)^2} \cdot (x + 1)' = \frac{1}{1 + (x + 1)^2} \cdot 1$.

Раскроем скобки в знаменателе для окончательного вида:

$y' = \frac{1}{1 + (x^2 + 2x + 1)} = \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{x^2 + 2x + 2}$.

4) Для функции $y = (x^2 - 2x + 3) \cdot \sin(2x)$ мы снова используем правило производной произведения $(u \cdot v)' = u'v + uv'$, где $u(x) = x^2 - 2x + 3$ и $v(x) = \sin(2x)$.

Найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$:

$u'(x) = (x^2 - 2x + 3)' = 2x - 2$.

$v'(x) = (\sin(2x))'$ (сложная функция): $v'(x) = \cos(2x) \cdot (2x)' = 2\cos(2x)$.

Теперь подставляем найденные производные в правило произведения:

$y' = u'v + uv' = (2x - 2)\sin(2x) + (x^2 - 2x + 3)(2\cos(2x))$.

Можно вынести множитель 2 из второго слагаемого и 2 из первого для более компактной записи:

$y' = 2(x - 1)\sin(2x) + 2(x^2 - 2x + 3)\cos(2x) = 2((x - 1)\sin(2x) + (x^2 - 2x + 3)\cos(2x))$.

Ответ: $y' = (2x - 2)\sin(2x) + 2(x^2 - 2x + 3)\cos(2x)$.