Номер 1.42, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.42. Найдите первообразную для функции $f(x)$, проходящую через указанную на графике точку:

1) $f(x) = 2x - 1$;

Рис. 1.3

2) $f(x) = 2(x - 1)$.

Рис. 1.4

1)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 2x - 1$, график которой проходит через точку $(1; 1)$.

Сначала найдем общее выражение для всех первообразных функции $f(x)$. Первообразная находится путем интегрирования:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (2x - 1) dx = \int 2x dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^2 - x + C$.

Здесь $\text{C}$ — произвольная постоянная. Таким образом, семейство всех первообразных (изображенное на Рис. 1.3) имеет вид $F(x) = x^2 - x + C$.

Далее, нам нужно найти ту единственную первообразную из этого семейства, график которой проходит через точку $(1; 1)$. Это означает, что при $x = 1$, значение функции $F(x)$ должно быть равно $\text{1}$, то есть $F(1) = 1$.

Подставим значения $x = 1$ и $F(1) = 1$ в общее уравнение первообразной для нахождения константы $\text{C}$:

$1 = (1)^2 - 1 + C$

$1 = 1 - 1 + C$

$1 = 0 + C$

$C = 1$

Найдя значение константы $\text{C}$, подставим его обратно в общее выражение для первообразной:

$F(x) = x^2 - x + 1$.

Это и есть искомая первообразная, график которой выделен на рисунке.

Ответ: $F(x) = x^2 - x + 1$.

2)

Задача состоит в том, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = 2(x - 1)$, график которой проходит через точку $(3; 2)$.

Сначала найдем общее выражение для всех первообразных функции $f(x)$. Упростим функцию: $f(x) = 2x - 2$. Первообразная находится путем интегрирования:

$F(x) = \int f(x) dx = \int (2x - 2) dx = \int 2x dx - \int 2 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x + C = x^2 - 2x + C$.

Здесь $\text{C}$ — произвольная постоянная. Семейство всех первообразных (изображенное на Рис. 1.4) имеет вид $F(x) = x^2 - 2x + C$.

Теперь найдем ту первообразную, которая проходит через точку $(3; 2)$. Это означает, что при $x = 3$, значение функции $F(x)$ равно $\text{2}$, то есть $F(3) = 2$.

Подставим значения $x = 3$ и $F(3) = 2$ в общее уравнение первообразной для нахождения константы $\text{C}$:

$2 = (3)^2 - 2(3) + C$

$2 = 9 - 6 + C$

$2 = 3 + C$

$C = 2 - 3 = -1$

Найдя значение константы $\text{C}$, подставим его обратно в общее выражение для первообразной:

$F(x) = x^2 - 2x - 1$.

Это и есть искомая первообразная, график которой выделен на рисунке. Эту функцию также можно представить в виде $F(x) = (x-1)^2 - 2$.

Ответ: $F(x) = x^2 - 2x - 1$.