Номер 1.40, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.40. Напишите уравнение касательной к графику функции $f(x)$, проведенной в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1}$, $x_0$ — точка пересечения графика функции с осью абсцисс;

2) $f(x) = (7-3x)^3$, $x_0$ — точка пересечения графика функции с прямой $y=1$;

3) $f(x) = (4x+3)^5$, $x_0$ — точка пересечения графика функции с прямой $y=-1$;

4) $f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x+1}$, $x_0 = 1$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем абсциссу точки касания $x_0$. По условию, это точка пересечения графика функции $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1}$ с осью абсцисс. Это означает, что в этой точке значение функции равно нулю: $f(x_0) = 0$.

$\frac{x_0-1}{x_0^2+1} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $x_0^2+1 > 0$ при любом $x_0$.

$x_0 - 1 = 0 \implies x_0 = 1$.

Значение функции в этой точке: $f(x_0) = f(1) = 0$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x-1)'(x^2+1) - (x-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{-1^2+2 \cdot 1+1}{(1^2+1)^2} = \frac{-1+2+1}{2^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(1)=0$ и $f'(1)=\frac{1}{2}$ в уравнение касательной:

$y = 0 + \frac{1}{2}(x - 1)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

2) Найдем абсциссу точки касания $x_0$. По условию, это точка пересечения графика функции $f(x) = (7-3x)^3$ с прямой $y=1$. Это означает, что в этой точке значение функции равно единице: $f(x_0) = 1$.

$(7-3x_0)^3 = 1$

$7-3x_0 = \sqrt[3]{1}$

$7-3x_0 = 1$

$3x_0 = 6 \implies x_0 = 2$.

Значение функции в этой точке: $f(x_0) = f(2) = 1$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$ как производную сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$:

$f'(x) = 3(7-3x)^{3-1} \cdot (7-3x)' = 3(7-3x)^2 \cdot (-3) = -9(7-3x)^2$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = -9(7-3 \cdot 2)^2 = -9(7-6)^2 = -9 \cdot 1^2 = -9$.

Подставим найденные значения $x_0=2$, $f(2)=1$ и $f'(2)=-9$ в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:

$y = 1 + (-9)(x - 2)$

$y = 1 - 9x + 18$

$y = -9x + 19$.

Ответ: $y = -9x + 19$.

3) Найдем абсциссу точки касания $x_0$. По условию, это точка пересечения графика функции $f(x) = (4x+3)^5$ с прямой $y=-1$. Это означает, что в этой точке значение функции равно минус единице: $f(x_0) = -1$.

$(4x_0+3)^5 = -1$

$4x_0+3 = \sqrt[5]{-1}$

$4x_0+3 = -1$

$4x_0 = -4 \implies x_0 = -1$.

Значение функции в этой точке: $f(x_0) = f(-1) = -1$.

Найдем производную функции $f(x)$ как производную сложной функции:

$f'(x) = 5(4x+3)^{5-1} \cdot (4x+3)' = 5(4x+3)^4 \cdot 4 = 20(4x+3)^4$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 20(4 \cdot (-1) + 3)^4 = 20(-4+3)^4 = 20(-1)^4 = 20 \cdot 1 = 20$.

Подставим найденные значения $x_0=-1$, $f(-1)=-1$ и $f'(-1)=20$ в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:

$y = -1 + 20(x - (-1))$

$y = -1 + 20(x + 1)$

$y = -1 + 20x + 20$

$y = 20x + 19$.

Ответ: $y = 20x + 19$.

4) В данном случае абсцисса точки касания задана: $x_0 = 1$.

Найдем значение функции в этой точке:

$f(1) = \frac{1^2 - 3 \cdot 1 + 2}{1+1} = \frac{1-3+2}{2} = \frac{0}{2} = 0$.

Теперь найдем производную функции $f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x+1}$ по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(x^2-3x+2)'(x+1) - (x^2-3x+2)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{(2x-3)(x+1) - (x^2-3x+2) \cdot 1}{(x+1)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2+2x-3x-3 - x^2+3x-2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-5}{(x+1)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{1^2+2 \cdot 1 - 5}{(1+1)^2} = \frac{1+2-5}{2^2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(1)=0$ и $f'(1)=-\frac{1}{2}$ в уравнение касательной $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$:

$y = 0 + (-\frac{1}{2})(x - 1)$

$y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$.