Номер 1.37, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Прикладная задача

1.37. Высота монумента «Байтерек» в г. Нур-Султан вместе с фундаментом составляет 105 м. С какой начальной скоростью надо запустить петарду фейерверка, чтобы достичь этой высоты? Массу снаряда для фейерверка можно не учитывать. ($g \approx 10 \, \text{м/с}^2$.)

Для решения данной задачи воспользуемся формулами кинематики для тела, брошенного вертикально вверх. Мы рассматриваем идеализированную модель, в которой сопротивление воздуха отсутствует, а ускорение тела постоянно и равно ускорению свободного падения $\text{g}$, направленному вниз.

Можно использовать закон сохранения механической энергии, согласно которому полная механическая энергия системы остается постоянной. В момент запуска вся энергия снаряда является кинетической, а на максимальной высоте подъема — потенциальной.

Кинетическая энергия в начальный момент: $E_к = \frac{mv_0^2}{2}$, где $\text{m}$ — масса снаряда, а $v_0$ — искомая начальная скорость.

Потенциальная энергия на максимальной высоте $\text{h}$: $E_п = mgh$, где $h = 105$ м, а $g \approx 10$ м/с².

Приравнивая кинетическую энергию в начале и потенциальную энергию в верхней точке траектории, получаем: $\frac{mv_0^2}{2} = mgh$

Как видно из уравнения, масса снаряда $\text{m}$ сокращается, поэтому ее значение не влияет на результат. Это объясняет, почему в условии задачи указано, что массу можно не учитывать. $\frac{v_0^2}{2} = gh$

Выразим из полученной формулы начальную скорость $v_0$: $v_0^2 = 2gh$ $v_0 = \sqrt{2gh}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи: $v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 105 \text{ м}}$ $v_0 = \sqrt{2100} \text{ м/с}$

Для удобства можно вычислить приближенное значение: $v_0 = \sqrt{100 \cdot 21} \text{ м/с} = 10\sqrt{21} \text{ м/с} \approx 10 \cdot 4.583 \text{ м/с} \approx 45.83 \text{ м/с}$

Ответ: начальная скорость, с которой надо запустить петарду фейерверка, составляет $v_0 = \sqrt{2100} \text{ м/с} \approx 45.83 \text{ м/с}$.