Номер 1.34, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.34. Напишите уравнение касательной, проходящей через точку M(2;1), если известно, что касательная, проведенная в любой точке данной кривой, составляет с осью абсцисс угол в $45^\circ$.

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим смыслом производной. Угловой коэффициент $\text{k}$ касательной к графику функции в точке равен тангенсу угла $\alpha$, который эта касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс.

По условию задачи, касательная в любой точке кривой составляет с осью абсцисс угол в $45^\circ$. Следовательно, угол наклона $\alpha = 45^\circ$. Найдем угловой коэффициент $\text{k}$ искомой касательной:

$k = \tan(\alpha) = \tan(45^\circ) = 1$

Итак, мы ищем уравнение прямой (касательной), которая проходит через точку $M(2;1)$ и имеет угловой коэффициент $k=1$. Для этого воспользуемся уравнением прямой с угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку $(x_0, y_0)$:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Подставим в это уравнение координаты точки $M(2;1)$, где $x_0=2$ и $y_0=1$, а также найденный угловой коэффициент $k=1$:

$y - 1 = 1 \cdot (x - 2)$

Теперь упростим полученное выражение, чтобы записать уравнение в стандартном виде $y = kx + b$:

$y - 1 = x - 2$

$y = x - 2 + 1$

$y = x - 1$

Таким образом, уравнение касательной, проходящей через точку $M(2;1)$, имеет вид $y = x - 1$.

Ответ: $y = x - 1$