Номер 1.38, страница 27, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.38. Верно ли, что первообразная для всякой нечетной функции является четной функцией? Почему? И наоборот, будет ли первообразная для любой четной функции нечетной функцией? Подтвердив ответы примерами, сделайте вывод.

Верно ли, что первообразная для всякой нечетной функции является четной функцией?

Да, это утверждение верно.

Докажем это. Пусть $f(x)$ — нечетная функция, то есть для любого $\text{x}$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Пусть $F(x)$ — одна из первообразных для $f(x)$, что по определению означает $F'(x) = f(x)$. Общий вид всех первообразных для $f(x)$ есть $G(x) = F(x) + C$, где $\text{C}$ — произвольная постоянная. Чтобы проверить, является ли функция $G(x)$ четной, нужно проверить выполнение равенства $G(-x) = G(x)$.

Найдем $G(-x)$: $G(-x) = F(-x) + C$. Рассмотрим производную функции $F(-x)$: $(F(-x))' = F'(-x) \cdot (-x)' = F'(-x) \cdot (-1)$. Так как $F'(x) = f(x)$, то $F'(-x) = f(-x)$. Поскольку $f(x)$ — нечетная функция, $f(-x) = -f(x)$. Подставляя, получаем: $(F(-x))' = f(-x) \cdot (-1) = (-f(x)) \cdot (-1) = f(x)$.

Таким образом, производная функции $F(-x)$ равна $f(x)$. Но и производная $F(x)$ также равна $f(x)$. Две функции, имеющие одинаковую производную на некотором промежутке, отличаются на константу. Значит, $F(-x) = F(x) + K$ для некоторой постоянной $\text{K}$. Для определения $\text{K}$ подставим $x=0$ (предполагая, что 0 входит в область определения): $F(0) = F(0) + K$, откуда следует, что $K=0$. Следовательно, $F(-x) = F(x)$.

Теперь вернемся к общей первообразной $G(x)$: $G(-x) = F(-x) + C = F(x) + C = G(x)$. Равенство $G(-x) = G(x)$ выполняется для любой постоянной $\text{C}$. Это доказывает, что любая первообразная нечетной функции является четной функцией.

Пример: Функция $f(x) = \sin(x)$ является нечетной. Ее первообразная $F(x) = \int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$. Функция $y = -\cos(x)$ является четной, так как $\cos(x)$ — четная. Прибавление константы $\text{C}$ не меняет четности функции. Таким образом, $F(x) = -\cos(x) + C$ — четная функция.

Ответ: Да, любая первообразная для нечетной функции является четной функцией.

Будет ли первообразная для любой четной функции нечетной функцией?

Нет, это утверждение в общем случае неверно. Только одна из бесконечного множества первообразных будет нечетной.

Докажем это. Пусть $f(x)$ — четная функция, то есть $f(-x) = f(x)$. Пусть $F(x)$ — одна из первообразных для $f(x)$, а $G(x) = F(x) + C$ — общий вид всех первообразных. Чтобы функция $G(x)$ была нечетной, должно выполняться равенство $G(-x) = -G(x)$.

Рассмотрим $G(-x) = F(-x) + C$. Найдем производную $F(-x)$: $(F(-x))' = F'(-x) \cdot (-1) = f(-x) \cdot (-1)$. Так как $f(x)$ — четная, $f(-x) = f(x)$. $(F(-x))' = f(x) \cdot (-1) = -f(x)$. С другой стороны, производная функции $-F(x)$ равна $(-F(x))' = -F'(x) = -f(x)$. Поскольку производные функций $F(-x)$ и $-F(x)$ равны, сами функции отличаются на константу: $F(-x) = -F(x) + K$. Подставим $x=0$: $F(0) = -F(0) + K$, откуда $K = 2F(0)$. Итак, $F(-x) = -F(x) + 2F(0)$.

Вернемся к общей первообразной $G(x) = F(x) + C$. Проверим условие нечетности $G(-x) = -G(x)$: Левая часть: $G(-x) = F(-x) + C = -F(x) + 2F(0) + C$. Правая часть: $-G(x) = -(F(x) + C) = -F(x) - C$. Приравнивая левую и правую части, получаем: $-F(x) + 2F(0) + C = -F(x) - C$. $2F(0) + C = -C$, $2C = -2F(0)$, $C = -F(0)$.

Это означает, что только та первообразная $G(x) = F(x) + C$, для которой константа $\text{C}$ равна $-F(0)$, будет нечетной. Если выбрать $C \neq -F(0)$, то первообразная не будет нечетной. Поскольку мы можем выбрать любую константу $\text{C}$, утверждение "любая первообразная будет нечетной" неверно.

Пример: Функция $f(x) = x^2$ является четной. Ее первообразная $F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$. Проверим на нечетность: $F(-x) = \frac{(-x)^3}{3} + C = -\frac{x^3}{3} + C$. $-F(x) = -(\frac{x^3}{3} + C) = -\frac{x^3}{3} - C$. Условие нечетности $F(-x) = -F(x)$ выполняется только если $-\frac{x^3}{3} + C = -\frac{x^3}{3} - C$, что эквивалентно $C = -C$, то есть $C=0$. Таким образом, только первообразная $F(x) = \frac{x^3}{3}$ является нечетной. Любая другая, например $F(x) = \frac{x^3}{3} + 1$, не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Нет, в общем случае первообразная для четной функции не является нечетной функцией. Только одна конкретная первообразная (при $C=0$ в нашем примере) будет нечетной.

Вывод

1. Интегрирование нечетной функции всегда приводит к семейству четных функций.

2. При интегрировании четной функции получается семейство функций, из которых только одна является нечетной (та, у которой константа интегрирования $\text{C}$ определенным образом подобрана, чаще всего $C=0$ при интегрировании от 0), а остальные не являются ни четными, ни нечетными.