Номер 1.35, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.35. Два тела одновременно начинают прямолинейное движение из одной точки в одном направлении. Скорость первого тела равна $v(t) = 3t^2 - 6t$, а скорость второго равна $v(t) = 10t + 20$. Через какое время и на каком расстоянии от начальной точки тела встретятся? (Скорость измеряется в м/с).

Чтобы определить время и место встречи двух тел, необходимо сначала найти их законы движения, то есть функции пути от времени $s(t)$. Закон движения можно найти, проинтегрировав функцию скорости $v(t)$, так как путь является первообразной скорости.

Заданы скорости первого и второго тел:

$v_1(t) = 3t^2 - 6t$ (м/с)

$v_2(t) = 10t + 20$ (м/с)

Найдем закон движения для первого тела:

$s_1(t) = \int v_1(t)dt = \int (3t^2 - 6t)dt = \frac{3t^3}{3} - \frac{6t^2}{2} + C_1 = t^3 - 3t^2 + C_1$.

По условию, тела начинают движение из одной точки. Примем эту точку за начало отсчета, то есть при $t=0$ путь $s=0$. Тогда $s_1(0) = 0$.

$0^3 - 3 \cdot 0^2 + C_1 = 0 \Rightarrow C_1 = 0$.

Следовательно, закон движения первого тела: $s_1(t) = t^3 - 3t^2$.

Аналогично найдем закон движения для второго тела:

$s_2(t) = \int v_2(t)dt = \int (10t + 20)dt = \frac{10t^2}{2} + 20t + C_2 = 5t^2 + 20t + C_2$.

Из начального условия $s_2(0) = 0$:

$5 \cdot 0^2 + 20 \cdot 0 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = 0$.

Следовательно, закон движения второго тела: $s_2(t) = 5t^2 + 20t$.

Тела встретятся в тот момент времени $t > 0$, когда пройденные ими пути будут равны: $s_1(t) = s_2(t)$.

Через какое время тела встретятся?

Составим и решим уравнение:

$t^3 - 3t^2 = 5t^2 + 20t$

$t^3 - 8t^2 - 20t = 0$

Вынесем общий множитель $\text{t}$ за скобки:

$t(t^2 - 8t - 20) = 0$

Один из корней этого уравнения $t_1 = 0$, что соответствует начальному моменту времени. Другие моменты встречи найдем из квадратного уравнения $t^2 - 8t - 20 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$.

Корни уравнения: $t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 12}{2}$.

$t_2 = \frac{8 + 12}{2} = 10$.

$t_3 = \frac{8 - 12}{2} = -2$.

Поскольку время не может быть отрицательным, встреча произойдет в момент времени $t=10$ с.

Ответ: Тела встретятся через 10 с.

На каком расстоянии от начальной точки тела встретятся?

Для нахождения расстояния подставим найденное время $t=10$ с в одно из уравнений движения, например, в $s_2(t)$:

$s(10) = 5 \cdot (10)^2 + 20 \cdot 10 = 5 \cdot 100 + 200 = 500 + 200 = 700$ м.

Для проверки можно использовать и второе уравнение:

$s(10) = (10)^3 - 3 \cdot (10)^2 = 1000 - 3 \cdot 100 = 1000 - 300 = 700$ м.

Результаты совпадают.

Ответ: Тела встретятся на расстоянии 700 м от начальной точки.