Номер 1.41, страница 28, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.41. Решите уравнение:

1) $2\cos x = 3\operatorname{tg} x$;

2) $\sqrt{3}\sin 3x = 2\cos x \cdot \sin 3x$.

1)

Дано уравнение: $2\cos{x} = 3\text{tg}{x}$.

Заменим $\text{tg}{x}$ на отношение $\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$: $2\cos{x} = 3\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$.

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется знаменателем, который не должен быть равен нулю: $\cos{x} \ne 0$. Следовательно, $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Умножим обе части уравнения на $\cos{x}$, учитывая ОДЗ: $2\cos^2{x} = 3\sin{x}$.

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1$, из которого следует $\cos^2{x} = 1 - \sin^2{x}$. Подставим это в уравнение: $2(1 - \sin^2{x}) = 3\sin{x}$.

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в одной части: $2 - 2\sin^2{x} = 3\sin{x}$ $2\sin^2{x} + 3\sin{x} - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $\sin{x}$. Сделаем замену $t = \sin{x}$, при этом должно выполняться условие $|t| \le 1$. $2t^2 + 3t - 2 = 0$.

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$. $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 - 5}{4} = -2$. $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{1}{2}$.

Выполним обратную замену:

• $\sin{x} = -2$. Этот корень не подходит, так как значение синуса не может быть меньше $-1$.
• $\sin{x} = \frac{1}{2}$. Решения этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Эти решения удовлетворяют ОДЗ, так как при $\sin{x} = \frac{1}{2}$, $\cos{x} = \pm\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \ne 0$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2)

Дано уравнение: $\sqrt{3}\sin{3x} = 2\cos{x} \sin{3x}$.

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: $\sqrt{3}\sin{3x} - 2\cos{x} \sin{3x} = 0$.

Вынесем общий множитель $\sin{3x}$ за скобки: $\sin{3x}(\sqrt{3} - 2\cos{x}) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

• $\sin{3x} = 0$
• $\sqrt{3} - 2\cos{x} = 0$

Решим первое уравнение: $\sin{3x} = 0$. $3x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение: $\sqrt{3} - 2\cos{x} = 0$. $2\cos{x} = \sqrt{3}$. $\cos{x} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Решения этого уравнения: $x = \pm \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Так как $\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$, получаем: $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения, полученные из обоих уравнений.

Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.