Номер 1.47, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.47. Укажите первообразную для функции $f (x)$.

Выберите первообразную из предложенных вариантов

1 Функция: $f(x) = 7x^2 - 3\cos x - 3$

A: $\frac{7x^3}{3} - 3\sin x - 3x + C$

B: $14x - 3\sin x - 3x$

C: $\frac{7x^3}{3} - 3\cos x - 3x + C$

2 Функция: $f(x) = 5x^3 - 4$

A: $\frac{5}{4}x^4 - 4x + C$

B: $\frac{5}{4}x^4 - 4x$

C: $5x^4 - x + C$

3 Функция: $f(x) = (5x - 4)^4$

A: $\frac{5}{2}x^2 - 4x + C$

B: $\frac{(5x - 4)^5}{5} + C$

C: $\frac{(5x - 4)^5}{20} + C$

4 Функция: $f(x) = 7\sin 7x - 3x^2$

A: $7\cos x - x^3 + C$

B: $-\cos 7x - x^3 + C$

C: $49\cos x - 6x$

5 Функция: $f(x) = 10\cos 9x$

A: $\frac{10}{9}\sin 9x$

B: $90\sin 9x + C$

C: $\frac{10}{9}\cos 9x + C$

1 Для функции $f(x) = 7x^2 - 3\cos x - 3$ найдем первообразную $F(x)$. Первообразная функции есть неопределенный интеграл от этой функции: $F(x) = \int (7x^2 - 3\cos x - 3) dx$.

Используем свойство линейности интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов): $F(x) = \int 7x^2 dx - \int 3\cos x dx - \int 3 dx$.

Вычисляем каждый интеграл по отдельности, используя табличные интегралы:

• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, поэтому $\int 7x^2 dx = 7 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{7x^3}{3}$.
• $\int \cos x dx = \sin x + C$, поэтому $\int 3\cos x dx = 3\sin x$.
• $\int k dx = kx + C$, поэтому $\int 3 dx = 3x$.

Собираем все вместе, добавляя одну общую константу интегрирования $\text{C}$: $F(x) = \frac{7x^3}{3} - 3\sin x - 3x + C$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом A.

Ответ: A

2 Для функции $f(x) = 5x^3 - 4$ найдем первообразную $F(x) = \int (5x^3 - 4) dx$.

Используя свойство линейности интеграла: $F(x) = \int 5x^3 dx - \int 4 dx$.

Применяем правило для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $F(x) = 5 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 4x + C = \frac{5x^4}{4} - 4x + C$.

Этот результат соответствует варианту A.

Ответ: A

3 Для функции $f(x) = (5x - 4)^3$ найдем первообразную $F(x) = \int (5x - 4)^3 dx$.

Это интеграл от сложной функции. Используем метод замены переменной. Пусть $u = 5x - 4$. Тогда дифференциал $du = (5x - 4)' dx = 5 dx$, откуда $dx = \frac{1}{5} du$.

Подставляем новую переменную в интеграл: $F(x) = \int u^3 \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int u^3 du$.

Вычисляем интеграл от степенной функции: $\frac{1}{5} \cdot \frac{u^{3+1}}{3+1} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{u^4}{20} + C$.

Возвращаемся к исходной переменной $\text{x}$, подставляя обратно $u = 5x - 4$: $F(x) = \frac{(5x - 4)^4}{20} + C$.

Этот результат соответствует варианту C.

Ответ: C

4 Для функции $f(x) = 7\sin(7x) - 3x^2$ найдем первообразную $F(x) = \int (7\sin(7x) - 3x^2) dx$.

Разбиваем интеграл на два: $F(x) = \int 7\sin(7x) dx - \int 3x^2 dx$.

Для первого интеграла используем табличный интеграл $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$: $\int 7\sin(7x) dx = 7 \cdot \left(-\frac{1}{7}\cos(7x)\right) = -\cos(7x)$.

Для второго интеграла используем правило для степенной функции: $\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Объединяем результаты и добавляем константу интегрирования $\text{C}$: $F(x) = -\cos(7x) - x^3 + C$.

Этот результат соответствует варианту B.

Ответ: B

5 Для функции $f(x) = 10\cos(9x)$ найдем первообразную $F(x) = \int 10\cos(9x) dx$.

Используем табличный интеграл для косинуса сложного аргумента $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$: $F(x) = 10 \int \cos(9x) dx = 10 \cdot \frac{1}{9}\sin(9x) + C = \frac{10}{9}\sin(9x) + C$.

Среди предложенных вариантов:

• A: $\frac{10}{9}\sin(9x)$
• B: $90\sin(9x) + C$
• C: $\frac{10}{9}\cos(9x) + C$

Вариант A представляет собой частный случай общего решения при $C=0$. Так как вопрос просит указать *одну* первообразную, а не общий вид, этот вариант является верным. Варианты B и C неверны по своей функциональной части.

Ответ: A