Номер 1.49, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.49. Преобразовав подынтегральное выражение, вычислите интеграл:

1) $\int (\cos^2x - \sin^2x)dx;$

2) $\int (\operatorname{tg}^2x + 1)dx;$

3) $\int (\operatorname{ctg}^2x + 1)dx;$

4) $\int \cos x \sin xdx.$

1) Для вычисления интеграла $\int (\cos^2 x - \sin^2 x)dx$ воспользуемся тригонометрической формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$.

Подставив эту формулу в подынтегральное выражение, получим:

$\int (\cos^2 x - \sin^2 x)dx = \int \cos(2x)dx$.

Это табличный интеграл. Используя правило интегрирования $\int \cos(kx)dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$, где $\text{k}$ - константа, получаем:

$\int \cos(2x)dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$, где $\text{C}$ – произвольная постоянная.

Ответ: $\frac{1}{2}\sin(2x) + C$.

2) Для вычисления интеграла $\int (\operatorname{tg}^2 x + 1)dx$ применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + \operatorname{tg}^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Тогда интеграл принимает вид:

$\int (\operatorname{tg}^2 x + 1)dx = \int \frac{1}{\cos^2 x}dx$.

Интеграл от $\frac{1}{\cos^2 x}$ является табличным, так как производная от $\operatorname{tg} x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$.

Следовательно, $\int \frac{1}{\cos^2 x}dx = \operatorname{tg} x + C$, где $\text{C}$ – произвольная постоянная.

Ответ: $\operatorname{tg} x + C$.

3) Для вычисления интеграла $\int (\operatorname{ctg}^2 x + 1)dx$ воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим котангенс и синус: $1 + \operatorname{ctg}^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Подставив это тождество в интеграл, получим:

$\int (\operatorname{ctg}^2 x + 1)dx = \int \frac{1}{\sin^2 x}dx$.

Этот интеграл также является табличным. Производная от $-\operatorname{ctg} x$ равна $\frac{1}{\sin^2 x}$.

Таким образом, $\int \frac{1}{\sin^2 x}dx = -\operatorname{ctg} x + C$, где $\text{C}$ – произвольная постоянная.

Ответ: $-\operatorname{ctg} x + C$.

4) Для вычисления интеграла $\int \cos x \sin x dx$ используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

Из этой формулы выразим произведение $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

Теперь интеграл можно переписать в виде:

$\int \cos x \sin x dx = \int \frac{1}{2}\sin(2x)dx = \frac{1}{2}\int \sin(2x)dx$.

Используя правило интегрирования $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, где $\text{k}$ - константа, получаем:

$\frac{1}{2}\int \sin(2x)dx = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}\cos(2x)) + C = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C$, где $\text{C}$ – произвольная постоянная.

Ответ: $-\frac{1}{4}\cos(2x) + C$.