Номер 1.48, страница 32, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.48. Применяя формулы понижения степени, найдите интеграл:

1) $\int \cos^2 x dx;$

2) $\int \sin^2 x dx;$

3) $\int \sin^2 2x dx;$

4) $\int \cos^2 2x dx.$

Для решения данных интегралов используются тригонометрические формулы понижения степени, которые позволяют преобразовать квадрат синуса или косинуса в выражение с первой степенью косинуса двойного угла:

$ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $

$ \cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2} $

1) Найдем интеграл $\int \cos^2 x dx$.

Применим формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

Подставим это выражение в интеграл:

$\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) dx$

Разложим интеграл на сумму двух интегралов:

$\frac{1}{2} \left( \int 1 dx + \int \cos(2x) dx \right)$

Интегрируем каждое слагаемое:

$\int 1 dx = x$

$\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2} \sin(2x)$

Подставляем обратно и добавляем константу интегрирования $\text{C}$:

$\frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{2} \sin(2x) \right) + C = \frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$

Ответ: $\frac{x}{2} + \frac{1}{4} \sin(2x) + C$

2) Найдем интеграл $\int \sin^2 x dx$.

Применим формулу понижения степени для синуса: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$.

Подставим это выражение в интеграл:

$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) dx$

Разложим интеграл на разность двух интегралов:

$\frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \cos(2x) dx \right)$

Используя результаты из предыдущего пункта, получаем:

$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{2} \sin(2x) \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin(2x) + C$

Ответ: $\frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin(2x) + C$

3) Найдем интеграл $\int \sin^2 2x dx$.

Применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$, где $\alpha = 2x$.

Получаем: $\sin^2 2x = \frac{1 - \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 - \cos(4x)}{2}$.

Подставим в интеграл:

$\int \sin^2 2x dx = \int \frac{1 - \cos(4x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(4x)) dx$

Разложим на разность интегралов:

$\frac{1}{2} \left( \int 1 dx - \int \cos(4x) dx \right)$

Интегрируем каждое слагаемое:

$\int 1 dx = x$

$\int \cos(4x) dx = \frac{1}{4} \sin(4x)$

Подставляем обратно и добавляем константу $\text{C}$:

$\frac{1}{2} \left( x - \frac{1}{4} \sin(4x) \right) + C = \frac{x}{2} - \frac{1}{8} \sin(4x) + C$

Ответ: $\frac{x}{2} - \frac{1}{8} \sin(4x) + C$

4) Найдем интеграл $\int \cos^2 2x dx$.

Применим формулу понижения степени $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$, где $\alpha = 2x$.

Получаем: $\cos^2 2x = \frac{1 + \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$.

Подставим в интеграл:

$\int \cos^2 2x dx = \int \frac{1 + \cos(4x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(4x)) dx$

Разложим на сумму интегралов:

$\frac{1}{2} \left( \int 1 dx + \int \cos(4x) dx \right)$

Используя результаты из предыдущего пункта, получаем:

$\frac{1}{2} \left( x + \frac{1}{4} \sin(4x) \right) + C = \frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin(4x) + C$

Ответ: $\frac{x}{2} + \frac{1}{8} \sin(4x) + C$