Номер 1.52, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.52. Упростив подынтегральную функцию, найдите интеграл:

1) $\int \left(\cos^2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sin^2 \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\right) dx;$

2) $\int \sin 2x \sin 6x dx;$

3) $\int \cos 3x \cos 5x dx;$

4) $\int \sin 4x \cos 3x dx;$

5) $\int 12\cos\left(\frac{\pi}{8} - x\right)\sin\left(\frac{\pi}{8} - x\right) dx.$

1) Для упрощения подынтегральной функции воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) $. В данном случае $ \alpha = x + \frac{\pi}{3} $.

Таким образом, подынтегральное выражение становится:

$ \cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right) - \sin^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right) = \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) $

Теперь найдем интеграл от этого выражения:

$ \int \cos\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) dx = \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) + C $

Ответ: $ \frac{1}{2}\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) + C $

2) Для нахождения интеграла воспользуемся формулой преобразования произведения синусов в сумму (разность): $ \sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) $.

В нашем случае $ \alpha = 6x $ и $ \beta = 2x $. Подставим их в формулу:

$ \sin(2x)\sin(6x) = \frac{1}{2}(\cos(6x - 2x) - \cos(6x + 2x)) = \frac{1}{2}(\cos(4x) - \cos(8x)) $

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int \frac{1}{2}(\cos(4x) - \cos(8x))dx = \frac{1}{2} \int \cos(4x)dx - \frac{1}{2} \int \cos(8x)dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(4x)}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(8x)}{8} + C = \frac{1}{8}\sin(4x) - \frac{1}{16}\sin(8x) + C $

Ответ: $ \frac{1}{8}\sin(4x) - \frac{1}{16}\sin(8x) + C $

3) Для нахождения интеграла воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму: $ \cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)) $.

В нашем случае $ \alpha = 5x $ и $ \beta = 3x $. Подставим их в формулу:

$ \cos(3x)\cos(5x) = \frac{1}{2}(\cos(5x - 3x) + \cos(5x + 3x)) = \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(8x)) $

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int \frac{1}{2}(\cos(2x) + \cos(8x))dx = \frac{1}{2} \int \cos(2x)dx + \frac{1}{2} \int \cos(8x)dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(2x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin(8x)}{8} + C = \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{16}\sin(8x) + C $

Ответ: $ \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{16}\sin(8x) + C $

4) Для нахождения интеграла воспользуемся формулой преобразования произведения синуса на косинус в сумму: $ \sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) $.

В нашем случае $ \alpha = 4x $ и $ \beta = 3x $. Подставим их в формулу:

$ \sin(4x)\cos(3x) = \frac{1}{2}(\sin(4x + 3x) + \sin(4x - 3x)) = \frac{1}{2}(\sin(7x) + \sin(x)) $

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int \frac{1}{2}(\sin(7x) + \sin(x))dx = \frac{1}{2} \int \sin(7x)dx + \frac{1}{2} \int \sin(x)dx = \frac{1}{2} \left(-\frac{\cos(7x)}{7}\right) + \frac{1}{2}(-\cos(x)) + C = -\frac{1}{14}\cos(7x) - \frac{1}{2}\cos(x) + C $

Ответ: $ -\frac{1}{14}\cos(7x) - \frac{1}{2}\cos(x) + C $

5) Для упрощения подынтегральной функции воспользуемся формулой синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha \cos\alpha $.

Преобразуем подынтегральное выражение:

$ 12\cos\left(\frac{\pi}{8}-x\right)\sin\left(\frac{\pi}{8}-x\right) = 6 \cdot \left(2\sin\left(\frac{\pi}{8}-x\right)\cos\left(\frac{\pi}{8}-x\right)\right) $

Пусть $ \alpha = \frac{\pi}{8}-x $. Тогда выражение равно $ 6\sin(2\alpha) = 6\sin\left(2\left(\frac{\pi}{8}-x\right)\right) = 6\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right) $.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int 6\sin\left(\frac{\pi}{4}-2x\right) dx = 6 \cdot \frac{-\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)}{-2} + C = 3\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right) + C $

Ответ: $ 3\cos\left(\frac{\pi}{4}-2x\right) + C $