Номер 1.59, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.59*. Вычислите интеграл:

1) $\int \frac{(4x+3)dx}{\sqrt[3]{3x+12}};$

2) $\int \frac{2x}{(5-2x)^3}dx;$

3) $\int \frac{(x-1)dx}{x^2-2x+1};$

4) $\int (2x+1)\cos(x^2+x+4)dx.$

1) Вычислим интеграл $ \int \frac{(4x+3)dx}{\sqrt[3]{3x+12}} $.

Применим метод замены переменной. Пусть $ t = \sqrt[3]{3x+12} $.

Тогда $ t^3 = 3x+12 $, откуда $ 3x = t^3 - 12 $ и $ x = \frac{t^3 - 12}{3} $.

Найдем дифференциал $ dx $. Дифференцируя $ 3x = t^3 - 12 $, получаем $ 3dx = 3t^2 dt $, следовательно, $ dx = t^2 dt $.

Выразим числитель $ 4x+3 $ через $ t $:

$ 4x+3 = 4\left(\frac{t^3 - 12}{3}\right) + 3 = \frac{4t^3 - 48 + 9}{3} = \frac{4t^3 - 39}{3} $.

Подставим все в исходный интеграл:

$ \int \frac{\frac{4t^3 - 39}{3}}{t} t^2 dt = \int \frac{4t^3 - 39}{3t} t^2 dt = \frac{1}{3} \int (4t^3 - 39)t dt = \frac{1}{3} \int (4t^4 - 39t) dt $.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \frac{1}{3} \left( 4 \frac{t^5}{5} - 39 \frac{t^2}{2} \right) + C = \frac{4}{15}t^5 - \frac{13}{2}t^2 + C $.

Выполним обратную замену, подставив $ t = (3x+12)^{1/3} $:

$ \frac{4}{15}(3x+12)^{5/3} - \frac{13}{2}(3x+12)^{2/3} + C $.

Для упрощения вынесем общий множитель $ (3x+12)^{2/3} $ за скобки:

$ (3x+12)^{2/3} \left[ \frac{4}{15}(3x+12) - \frac{13}{2} \right] + C = (3x+12)^{2/3} \left[ \frac{12x+48}{15} - \frac{13}{2} \right] + C $.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$ (3x+12)^{2/3} \left[ \frac{2(12x+48) - 15(13)}{30} \right] + C = (3x+12)^{2/3} \left[ \frac{24x+96 - 195}{30} \right] + C $.

$ (3x+12)^{2/3} \frac{24x - 99}{30} + C = (3x+12)^{2/3} \frac{3(8x - 33)}{30} + C = \frac{8x-33}{10} (3x+12)^{2/3} + C $.

Запишем ответ, используя знак корня:

$ \frac{8x-33}{10} \sqrt[3]{(3x+12)^2} + C $.

Ответ: $ \frac{8x-33}{10}\sqrt[3]{(3x+12)^2} + C $

2) Вычислим интеграл $ \int \frac{2x}{(5-2x)^3}dx $.

Используем метод замены переменной. Пусть $ t = 5-2x $.

Тогда $ 2x = 5-t $ и $ dt = -2dx $, откуда $ dx = -\frac{1}{2}dt $.

Подставляем в интеграл:

$ \int \frac{5-t}{t^3} \left(-\frac{1}{2}dt\right) = -\frac{1}{2} \int \left(\frac{5}{t^3} - \frac{t}{t^3}\right) dt = -\frac{1}{2} \int (5t^{-3} - t^{-2}) dt $.

Интегрируем по $ t $:

$ -\frac{1}{2} \left( 5\frac{t^{-2}}{-2} - \frac{t^{-1}}{-1} \right) + C = -\frac{1}{2} \left( -\frac{5}{2t^2} + \frac{1}{t} \right) + C = \frac{5}{4t^2} - \frac{1}{2t} + C $.

Делаем обратную замену $ t = 5-2x $:

$ \frac{5}{4(5-2x)^2} - \frac{1}{2(5-2x)} + C $.

Приведем к общему знаменателю для упрощения:

$ \frac{5 - 2(5-2x)}{4(5-2x)^2} + C = \frac{5 - 10 + 4x}{4(5-2x)^2} + C = \frac{4x-5}{4(5-2x)^2} + C $.

Ответ: $ \frac{4x-5}{4(5-2x)^2} + C $

3) Вычислим интеграл $ \int \frac{(x-1)dx}{x^2 - 2x + 1} $.

Заметим, что знаменатель является полным квадратом: $ x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 $.

Подставим это в интеграл:

$ \int \frac{x-1}{(x-1)^2} dx $.

При условии, что $ x \neq 1 $, мы можем сократить дробь:

$ \int \frac{1}{x-1} dx $.

Это табличный интеграл, который равен натуральному логарифму:

$ \int \frac{1}{x-1} dx = \ln|x-1| + C $.

Ответ: $ \ln|x-1| + C $

4) Вычислим интеграл $ \int (2x+1)\cos(x^2 + x + 4)dx $.

Этот интеграл удобно решать методом замены переменной. Заметим, что множитель $ (2x+1) $ является производной выражения $ x^2+x+4 $.

Пусть $ u = x^2 + x + 4 $.

Тогда дифференциал $ du $ равен $ du = (2x+1)dx $.

Подставим $ u $ и $ du $ в интеграл:

$ \int \cos(u) du $.

Интеграл от косинуса является табличным:

$ \int \cos(u) du = \sin(u) + C $.

Теперь выполним обратную замену, подставив $ u = x^2 + x + 4 $:

$ \sin(x^2 + x + 4) + C $.

Ответ: $ \sin(x^2 + x + 4) + C $