Номер 1.66, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.66. Дана функция $y = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$. Найдите значение $y'(2)$.

Для того чтобы найти значение производной $y'(2)$, нам необходимо сначала найти производную функции $y(x) = \frac{\sqrt{x}}{x+1}$.

Эта функция представляет собой частное двух функций: $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = x+1$. Для нахождения ее производной воспользуемся формулой производной частного: $y'(x) = \left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}$.

Сначала найдем производные функций $u(x)$ и $v(x)$: $u'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. $v'(x) = (x+1)' = (x)' + (1)' = 1 + 0 = 1$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной частного: $y'(x) = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x+1)^2}$.

Упростим полученное выражение в числителе, приведя к общему знаменателю $2\sqrt{x}$: $y'(x) = \frac{\frac{x+1}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \frac{\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}}{(x+1)^2} = \frac{1-x}{2\sqrt{x}(x+1)^2}$.

Теперь, когда мы нашли общую формулу для производной $y'(x)$, мы можем вычислить ее значение в точке $x=2$: $y'(2) = \frac{1-2}{2\sqrt{2}(2+1)^2} = \frac{-1}{2\sqrt{2} \cdot 3^2} = \frac{-1}{2\sqrt{2} \cdot 9} = -\frac{1}{18\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$: $y'(2) = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{18\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{18 \cdot 2} = -\frac{\sqrt{2}}{36}$.

Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{36}$.