Номер 1.69, страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.69. Найдите площади фигур, изображенных на рисунках 1.21, 1.22, геометрическим способом и с помощью определенного интеграла. $f(x) = 5$

Рис. 1.21 $f(x) = 6 - 3x$

Рис. 1.22

1. Геометрический способ. Фигура, изображенная на рисунке, представляет собой прямоугольник. Его основание лежит на оси Ox, и его длина равна $4 - 0 = 4$. Высота прямоугольника постоянна и равна 5. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его сторон: $S = 4 \cdot 5 = 20$.

2. С помощью определенного интеграла. Площадь фигуры, ограниченной сверху графиком функции $y = f(x)$, снизу — осью абсцисс, и по бокам — прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле $S = \int_a^b f(x) \,dx$. В данном случае $f(x) = 5$, $a = 0$ и $b = 4$. Вычисляем интеграл: $S = \int_0^4 5 \,dx = [5x]_0^4 = 5 \cdot 4 - 5 \cdot 0 = 20 - 0 = 20$.

Ответ: 20.

1. Геометрический способ. Фигура, изображенная на рисунке, представляет собой прямоугольный треугольник, катеты которого лежат на осях координат. Основание треугольника (один катет) лежит на оси Ox. Его длина равна абсциссе точки пересечения графика $f(x) = 6 - 3x$ с осью Ox. Найдем эту точку из уравнения $6 - 3x = 0$, откуда $3x = 6$, $x = 2$. Длина основания равна 2. Высота треугольника (второй катет) лежит на оси Oy. Ее длина равна ординате точки пересечения графика с осью Oy, то есть значению функции при $x=0$: $f(0) = 6 - 3 \cdot 0 = 6$. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$.

2. С помощью определенного интеграла. Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от функции $f(x) = 6 - 3x$. Пределы интегрирования определяются по оси Ox: от $x=0$ до точки пересечения графика с осью Ox, то есть $x=2$. Вычисляем интеграл: $S = \int_0^2 (6 - 3x) \,dx = [6x - \frac{3x^2}{2}]_0^2 = (6 \cdot 2 - \frac{3 \cdot 2^2}{2}) - (6 \cdot 0 - \frac{3 \cdot 0^2}{2}) = (12 - \frac{3 \cdot 4}{2}) - 0 = 12 - 6 = 6$.

Ответ: 6.