Номер 1.75, страница 46, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.75. Найдите площади фигур, данных в задаче 1.72.

1.72. Изобразите фигуру, ограниченную графиком функции $y = f(x)$, прямыми $x = a$, $x = b$ и осью абсцисс. Результат проверьте с помощью графического онлайн-калькулятора:

1) $y = x, a = 0, b = 2;$

2) $y = x^2, a = 0, b = 2;$

3) $y = \cos x, a = 0, b = \frac{\pi}{2};$

4) $y = 1 - x^2, a = -1, b = 1.$

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, прямыми $x=a$, $x=b$ и осью абсцисс (криволинейной трапеции), вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

1) $y = x, a = 0, b = 2$

Фигура ограничена графиком функции $y=x$, прямыми $x=0$, $x=2$ и осью абсцисс. На отрезке $[0, 2]$ функция $y=x$ неотрицательна. Вычислим площадь:

$S = \int_{0}^{2} x \,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2$.

Ответ: 2.

2) $y = x^2, a = 0, b = 2$

Фигура ограничена графиком функции $y=x^2$ (парабола), прямыми $x=0$, $x=2$ и осью абсцисс. На отрезке $[0, 2]$ функция $y=x^2$ неотрицательна. Вычислим площадь:

$S = \int_{0}^{2} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$.

3) $y = \cos x, a = 0, b = \frac{\pi}{2}$

Фигура ограничена графиком функции $y=\cos x$ (косинусоида), прямыми $x=0$, $x=\frac{\pi}{2}$ и осью абсцисс. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y=\cos x$ неотрицательна. Вычислим площадь:

$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = \left[ \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: 1.

4) $y = 1 - x^2, a = -1, b = 1$

Фигура ограничена графиком функции $y=1-x^2$ (парабола с ветвями вниз), прямыми $x=-1$, $x=1$ и осью абсцисс. Корни уравнения $1-x^2=0$ — это $x=\pm1$, поэтому на отрезке $[-1, 1]$ функция $y=1-x^2$ неотрицательна. Вычислим площадь:

$S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) \,dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right) = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 - (-\frac{1}{3}) \right) = \frac{2}{3} - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Так как подынтегральная функция $y=1-x^2$ является четной ($f(-x) = f(x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, вычисление можно упростить:

$S = 2 \int_{0}^{1} (1 - x^2) \,dx = 2 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(0 - \frac{0^3}{3}\right) \right) = 2 \left( 1 - \frac{1}{3} \right) = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.