Номер 1.79, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.79. Определите функции, графики которых ограничивают фигуру, изображенную на рисунке 1.30, и вычислите площадь этой фигуры.

Рис. 1.30

Определение функций, графики которых ограничивают фигуру

Заштрихованная на рисунке фигура представляет собой треугольную область. Для ее описания и вычисления площади определим уравнения прямых, которые ее ограничивают.

Фигура ограничена:

1. Слева — осью ординат, уравнение которой $x=0$.

2. Справа — вертикальной прямой, проходящей через точку $(1,0)$. Уравнение этой прямой $x=1$.

3. Сверху — прямой, проходящей через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$. Найдем ее уравнение в виде $y = kx + b$. Так как прямая проходит через $(0, 1)$, то $b=1$. Подставив точку $(-1, 0)$, получаем $0 = k(-1) + 1$, откуда $k=1$. Таким образом, верхняя граница — это график функции $y = x + 1$.

4. Снизу — прямой, проходящей через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$. Найдем ее уравнение. Так как прямая проходит через $(0, 1)$, то $b=1$. Подставив точку $(1, 0)$, получаем $0 = k(1) + 1$, откуда $k=-1$. Таким образом, нижняя граница — это график функции $y = -x + 1$.

Ответ: Фигура ограничена графиками функций $y = x + 1$ и $y = -x + 1$, а также прямыми $x=0$ и $x=1$.

Вычисление площади этой фигуры

Площадь $\text{S}$ фигуры, ограниченной сверху графиком функции $f(x)$ и снизу графиком функции $g(x)$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x))dx$.

В данном случае:

Верхняя функция: $f(x) = x+1$.

Нижняя функция: $g(x) = -x+1$.

Промежуток интегрирования: от $a=0$ до $b=1$.

Подставляем данные в формулу и вычисляем интеграл:

$S = \int_{0}^{1} ((x+1) - (-x+1))dx = \int_{0}^{1} (x+1+x-1)dx = \int_{0}^{1} 2x dx$.

Находим первообразную и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [2 \cdot \frac{x^2}{2}]_{0}^{1} = [x^2]_{0}^{1} = 1^2 - 0^2 = 1$.

Площадь фигуры равна 1 квадратной единице.

Ответ: $\text{1}$.