Номер 1.83, страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.83. Вычислите:

1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx$;

2) $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{2\sin^2 x}$;

3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$;

4) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$;

5) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \sin x dx$.

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является функция $F(x) = -\cos x$.

Подставим пределы интегрирования:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0)) = -0 - (-1) = 1 $.

Ответ: 1

2) Вынесем постоянный множитель $ \frac{1}{2} $ за знак интеграла. Первообразной для функции $ f(x) = \frac{1}{\sin^2 x} $ является функция $ F(x) = -\cot x $.

$ \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{dx}{2\sin^2 x} = \frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sin^2 x} \,dx = \frac{1}{2} [-\cot x]_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{6}} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} ((-\cot(\frac{\pi}{6})) - (-\cot(\frac{\pi}{12}))) = \frac{1}{2} (\cot(\frac{\pi}{12}) - \cot(\frac{\pi}{6})) $.

Вычислим значения котангенсов:

$ \cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3} $.

$ \cot(\frac{\pi}{12}) = \cot(15^\circ) = \cot(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\cot(45^\circ)\cot(30^\circ) + 1}{\cot(30^\circ) - \cot(45^\circ)} = \frac{1 \cdot \sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3} $.

Подставим найденные значения:

$ \frac{1}{2} (2 + \sqrt{3} - \sqrt{3}) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 $.

Ответ: 1

3) Первообразной для функции $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 $.

Ответ: 1

4) Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ является функция $F(x) = \tan x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} \,dx = [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1 - 0 = 1 $.

Ответ: 1

5) Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является функция $F(x) = -\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} = (-\cos(\frac{5\pi}{6})) - (-\cos(\frac{\pi}{6})) = \cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{5\pi}{6}) $.

Используем формулу приведения $ \cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) $.

Подставляем в наше выражение:

$ \cos(\frac{\pi}{6}) - (-\cos(\frac{\pi}{6})) = 2\cos(\frac{\pi}{6}) $.

Зная, что $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, получаем:

$ 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} $.

Ответ: $ \sqrt{3} $