Номер 1.85, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.85. Вычислите:

1) $\int_{1}^{2} \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x} dx;$

2) $\int_{0}^{2} (x^2 + 2x) dx;$

3) $\int_{1}^{3} (x^2 + 1) dx;$

4) $\int_{0}^{2} (2x - x^2) dx.$

1) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x}dx $ сначала упростим подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель:

$ \frac{x^2 + \sqrt{x}}{x} = \frac{x^2}{x} + \frac{x^{1/2}}{x} = x + x^{-1/2} $.

Теперь найдем первообразную для $ x + x^{-1/2} $. Используя правило интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $, получаем:

$ \int (x + x^{-1/2})dx = \frac{x^2}{2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x} $.

Далее применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{1}^{2} (x + x^{-1/2})dx = \left. \left(\frac{x^2}{2} + 2\sqrt{x}\right) \right|_{1}^{2} = \left(\frac{2^2}{2} + 2\sqrt{2}\right) - \left(\frac{1^2}{2} + 2\sqrt{1}\right) $

$ = (2 + 2\sqrt{2}) - \left(\frac{1}{2} + 2\right) = 2 + 2\sqrt{2} - 2 - \frac{1}{2} = 2\sqrt{2} - \frac{1}{2} $.

Ответ: $ 2\sqrt{2} - \frac{1}{2} $.

2) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{2} (x^2 + 2x)dx $ найдем первообразную для подынтегральной функции $ x^2 + 2x $:

$ \int (x^2 + 2x)dx = \frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} + x^2 $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{2} (x^2 + 2x)dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} + x^2\right) \right|_{0}^{2} = \left(\frac{2^3}{3} + 2^2\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0^2\right) $

$ = \left(\frac{8}{3} + 4\right) - 0 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} $.

Ответ: $ \frac{20}{3} $.

3) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{3} (x^2 + 1)dx $ найдем первообразную для функции $ x^2 + 1 $:

$ \int (x^2 + 1)dx = \frac{x^3}{3} + x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{1}^{3} (x^2 + 1)dx = \left. \left(\frac{x^3}{3} + x\right) \right|_{1}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} + 3\right) - \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) $

$ = (9 + 3) - \left(\frac{1}{3} + 1\right) = 12 - \frac{4}{3} = \frac{36}{3} - \frac{4}{3} = \frac{32}{3} $.

Ответ: $ \frac{32}{3} $.

4) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{2} (2x - x^2)dx $ найдем первообразную для функции $ 2x - x^2 $:

$ \int (2x - x^2)dx = 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{2} (2x - x^2)dx = \left. \left(x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \right|_{0}^{2} = \left(2^2 - \frac{2^3}{3}\right) - \left(0^2 - \frac{0^3}{3}\right) $

$ = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - 0 = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{4}{3} $.

Ответ: $ \frac{4}{3} $.