Номер 1.84, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.84. Выполните тестовое задание: вычислите значения данных определенных интегралов.

1. $\int_0^4 \sqrt{x}dx.$

a) 5; b) - 3; c) 10; d) $5\frac{1}{3};$ e) $2\frac{1}{4}.$

2. $\int_0^1 4\cos(\pi x)dx.$

a) 4; b) $-\frac{1}{2\pi};$ c) $2\pi;$ d) $2\frac{1}{3};$ e) $\frac{4}{\pi}.$

3. $\int_0^1 2\sin(\pi x)dx.$

a) $\frac{4}{\pi};$ b) $\frac{1}{2\pi};$ c) $15\pi;$ d) $\frac{2}{\pi};$ e) $\frac{1}{\pi}.$

4. $\int_0^9 (1+\sqrt{x})dx.$

a) - 3; b) 9; c) 27; d) 3; e) 2.

1. Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{4} \sqrt{x}dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = \sqrt{x} $, представив ее в виде степенной функции $ x^{1/2} $. Первообразная для $ x^n $ находится по формуле $ \frac{x^{n+1}}{n+1} $. Таким образом, первообразная для $ x^{1/2} $ равна $ F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} $. Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования:

$ \int_{0}^{4} \sqrt{x}dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(4^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) = \frac{2}{3}((\sqrt{4})^3) - 0 = \frac{2}{3}(2^3) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} $.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $ \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} $.

Ответ: $5\frac{1}{3}$

2. Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{1}{2}} 4\cos(\pi x)dx $. Сначала вынесем константу 4 за знак интеграла: $ 4\int_{0}^{\frac{1}{2}} \cos(\pi x)dx $. Первообразная для функции $ \cos(kx) $ равна $ \frac{1}{k}\sin(kx) $. В нашем случае $ k=\pi $, поэтому первообразная для $ \cos(\pi x) $ будет $ \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) $. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ 4\left[ \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\pi} \left[ \sin(\pi x) \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \frac{4}{\pi} \left( \sin(\pi \cdot \frac{1}{2}) - \sin(\pi \cdot 0) \right) = \frac{4}{\pi} (\sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0)) = \frac{4}{\pi} (1 - 0) = \frac{4}{\pi} $.

Ответ: $\frac{4}{\pi}$

3. Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} 2\sin(\pi x)dx $. Вынесем константу 2 за знак интеграла: $ 2 \int_{0}^{1} \sin(\pi x)dx $. Первообразная для функции $ \sin(kx) $ равна $ -\frac{1}{k}\cos(kx) $. В нашем случае $ k=\pi $, поэтому первообразная для $ \sin(\pi x) $ будет $ -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x) $. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ 2 \left[ -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x) \right]_{0}^{1} = -\frac{2}{\pi} [\cos(\pi x)]_{0}^{1} = -\frac{2}{\pi} (\cos(\pi \cdot 1) - \cos(\pi \cdot 0)) = -\frac{2}{\pi} (\cos(\pi) - \cos(0)) = -\frac{2}{\pi} (-1 - 1) = -\frac{2}{\pi} (-2) = \frac{4}{\pi} $.

Ответ: $\frac{4}{\pi}$

4. Вычислим интеграл $ \int_{0}^{9} (1+\sqrt{x})dx $. Используя свойство линейности, разобьем интеграл на два: $ \int_{0}^{9} 1 dx + \int_{0}^{9} \sqrt{x} dx $.

Вычислим первый интеграл: $ \int_{0}^{9} 1 dx = [x]_{0}^{9} = 9 - 0 = 9 $.

Вычислим второй интеграл, представив $ \sqrt{x} $ как $ x^{1/2} $: $ \int_{0}^{9} x^{1/2} dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{9} = \frac{2}{3}(9^{3/2}) - 0 = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 = \frac{2}{3}(3^3) = \frac{2}{3} \cdot 27 = 2 \cdot 9 = 18 $.

Сложим результаты: $ 9 + 18 = 27 $.

Ответ: $27$