Номер 1.86, страница 48, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.86. Вычислите:

1) $\int_0^2 (x^2 + 2) dx;$

2) $\int_0^4 3\sqrt{x} dx;$

3) $\int_{-1}^1 \left(\frac{1}{x^2} + x^3\right) dx;$

4) $\int_{-2}^1 \left(\frac{3}{x^3} - 2x^2\right) dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2 + 2$.

$ F(x) = \int (x^2 + 2)dx = \int x^2 dx + \int 2 dx = \frac{x^3}{3} + 2x $.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$ \int_0^2 (x^2 + 2)dx = \left(\frac{x^3}{3} + 2x\right) \bigg|_0^2 = \left(\frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0\right) = \left(\frac{8}{3} + 4\right) - 0 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} $.

Ответ: $ \frac{20}{3} $.

2) Сначала преобразуем подынтегральное выражение, представив корень как степень, и найдем первообразную. Константу 3 можно вынести за знак интеграла.

$ \int_0^4 3\sqrt{x}dx = 3 \int_0^4 x^{1/2}dx $.

Первообразная для $x^{1/2}$ находится по формуле $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $.

$ \int x^{1/2} dx = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} $.

Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$ 3 \int_0^4 x^{1/2}dx = 3 \cdot \left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right) \bigg|_0^4 = 2x^{3/2} \bigg|_0^4 = 2 \cdot 4^{3/2} - 2 \cdot 0^{3/2} = 2 \cdot (\sqrt{4})^3 - 0 = 2 \cdot 2^3 = 2 \cdot 8 = 16 $.

Ответ: $16$.

3) Подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{x^2} + x^3$ не определена в точке $x=0$, которая принадлежит отрезку интегрирования $[-1, 1]$. Следовательно, данный интеграл является несобственным.

По определению несобственного интеграла:

$ \int_{-1}^{1} \left(\frac{1}{x^2} + x^3\right)dx = \int_{-1}^{0} \left(\frac{1}{x^2} + x^3\right)dx + \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{x^2} + x^3\right)dx $.

Интеграл существует, только если существуют (конечны) оба интеграла в правой части. Рассмотрим один из них, например, $ \int_{0}^{1} (\frac{1}{x^2} + x^3)dx $.

$ \int_{0}^{1} \left(\frac{1}{x^2} + x^3\right)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^{1} (x^{-2} + x^3)dx $.

Найдем первообразную: $ F(x) = \frac{x^{-1}}{-1} + \frac{x^4}{4} = -\frac{1}{x} + \frac{x^4}{4} $.

Теперь вычислим предел:

$ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \left(-\frac{1}{x} + \frac{x^4}{4}\right) \bigg|_{\varepsilon}^{1} \right) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \left(-\frac{1}{1} + \frac{1^4}{4}\right) - \left(-\frac{1}{\varepsilon} + \frac{\varepsilon^4}{4}\right) \right) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( -1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{\varepsilon} - \frac{\varepsilon^4}{4} \right) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( -\frac{3}{4} + \frac{1}{\varepsilon} - \frac{\varepsilon^4}{4} \right) $.

Так как $ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{1}{\varepsilon} = +\infty $, предел равен бесконечности. Поскольку один из интегралов расходится, то и весь исходный интеграл расходится.

Ответ: интеграл расходится (не существует).

4) Подынтегральная функция $f(x) = \frac{3}{x^3} - 2x^2$ не определена в точке $x=0$, которая принадлежит отрезку интегрирования $[-2, 1]$. Следовательно, данный интеграл является несобственным.

Представим его в виде суммы двух интегралов:

$ \int_{-2}^{1} \left(\frac{3}{x^3} - 2x^2\right)dx = \int_{-2}^{0} \left(\frac{3}{x^3} - 2x^2\right)dx + \int_{0}^{1} \left(\frac{3}{x^3} - 2x^2\right)dx $.

Интеграл существует, если оба слагаемых конечны. Рассмотрим интеграл $ \int_{0}^{1} (\frac{3}{x^3} - 2x^2)dx $.

$ \int_{0}^{1} \left(\frac{3}{x^3} - 2x^2\right)dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^{1} (3x^{-3} - 2x^2)dx $.

Первообразная для подынтегральной функции: $ F(x) = \frac{3x^{-2}}{-2} - \frac{2x^3}{3} = -\frac{3}{2x^2} - \frac{2x^3}{3} $.

Вычисляем предел:

$ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \left(-\frac{3}{2x^2} - \frac{2x^3}{3}\right) \bigg|_{\varepsilon}^{1} \right) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( \left(-\frac{3}{2 \cdot 1^2} - \frac{2 \cdot 1^3}{3}\right) - \left(-\frac{3}{2\varepsilon^2} - \frac{2\varepsilon^3}{3}\right) \right) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left( -\frac{3}{2} - \frac{2}{3} + \frac{3}{2\varepsilon^2} + \frac{2\varepsilon^3}{3} \right) $.

Так как $ \lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{3}{2\varepsilon^2} = +\infty $, предел равен бесконечности. Это означает, что интеграл расходится.

Ответ: интеграл расходится (не существует).