Номер 1.93, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.93. С помощью определенного интеграла, вычислите площади следующих криволинейных трапеций:

1) $y = x - x^2$

2) $y = \frac{1}{x^2}$

3) $y = \cos x$

4) $y = x + \sin x$

1)

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = x - x^2$ и осью Ox, вычисляется с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования находим из условия $y=0$, то есть из уравнения $x - x^2 = 0$. Корни этого уравнения: $x(1-x)=0$, откуда $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Эти значения соответствуют точкам пересечения графика с осью Ox, что видно на рисунке.

Таким образом, площадь $\text{S}$ равна:

$S = \int_0^1 (x - x^2) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} - 0 = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2)

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = \frac{1}{x^2}$, осью Ox и прямыми $x=1$ и $x=2$ (что показано на графике), вычисляется по формуле:

$S = \int_1^2 \frac{1}{x^2} dx = \int_1^2 x^{-2} dx$

Первообразная для $x^{-2}$ равна $\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^2 = \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3)

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \cos x$, осью Ox, осью Oy (прямая $x=0$) и прямой $x=\frac{\pi}{2}$, находится с помощью интеграла. Пределы интегрирования, согласно графику, от $a=0$ до $b=\frac{\pi}{2}$.

$S = \int_0^{\pi/2} \cos x dx$

Первообразная для функции $\cos x$ есть $\sin x$.

Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [\sin x]_0^{\pi/2} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.

Ответ: $\text{1}$.

4)

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = x + \sin x$, осью Ox, осью Oy ($x=0$) и прямой $x=\pi$, вычисляется как определенный интеграл. Из графика видно, что пределы интегрирования от $a=0$ до $b=\pi$.

$S = \int_0^{\pi} (x + \sin x) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции, проинтегрировав каждое слагаемое: $F(x) = \frac{x^2}{2} - \cos x$.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left[\frac{x^2}{2} - \cos x\right]_0^{\pi} = \left(\frac{\pi^2}{2} - \cos(\pi)\right) - \left(\frac{0^2}{2} - \cos(0)\right)$

$S = \left(\frac{\pi^2}{2} - (-1)\right) - (0 - 1) = \frac{\pi^2}{2} + 1 + 1 = \frac{\pi^2}{2} + 2$.

Ответ: $\frac{\pi^2}{2} + 2$.