Номер 1.97, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.97. Изобразите криволинейную трапецию, ограниченную заданной параболой и осью абсцисс, и вычислите ее площадь:

1) $\begin{cases} y = 9 - x^2, \\ y = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = -x^2 + 2x, \\ y = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y = x^2 - x - 6, \\ y = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y = x^2 - 5x + 4, \\ y = 0. \end{cases}$

1)

Фигура ограничена параболой $y = 9 - x^2$ и осью абсцисс ($y=0$).

Графиком функции $y = 9 - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 9)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $9 - x^2 = 0$:

$x^2 = 9$

$x_1 = -3$, $x_2 = 3$.

Таким образом, криволинейная трапеция ограничена дугой параболы и отрезком оси OX от $x=-3$ до $x=3$. На этом промежутке парабола находится выше оси абсцисс, то есть $y \ge 0$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx$

Поскольку функция $y = 9 - x^2$ является четной, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{3} (9 - x^2) dx = 2 \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = 2 \left( (9 \cdot 3 - \frac{3^3}{3}) - 0 \right) = 2 \left( 27 - \frac{27}{3} \right) = 2(27 - 9) = 2 \cdot 18 = 36$.

Ответ: 36.

2)

Фигура ограничена параболой $y = -x^2 + 2x$ и осью абсцисс ($y=0$).

Графиком функции $y = -x^2 + 2x$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x = -\frac{2}{2(-1)} = 1$, $y = -1^2 + 2(1) = 1$. Координаты вершины: $(1, 1)$.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $-x^2 + 2x = 0$:

$-x(x - 2) = 0$

$x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Криволинейная трапеция ограничена дугой параболы и отрезком оси OX от $x=0$ до $x=2$. На этом промежутке парабола находится выше оси абсцисс, то есть $y \ge 0$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{2} (-x^2 + 2x) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^2 = \left( -\frac{2^3}{3} + 2^2 \right) - (0) = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{-8 + 12}{3} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

3)

Фигура ограничена параболой $y = x^2 - x - 6$ и осью абсцисс ($y=0$).

Графиком функции $y = x^2 - x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $x^2 - x - 6 = 0$:

По теореме Виета, корни $x_1 = -2$, $x_2 = 3$.

Криволинейная трапеция ограничена дугой параболы и отрезком оси OX от $x=-2$ до $x=3$. На этом промежутке парабола находится ниже оси абсцисс ($y \le 0$), поэтому для вычисления площади необходимо взять интеграл с противоположным знаком.

$S = \int_{-2}^{3} |x^2 - x - 6| dx = -\int_{-2}^{3} (x^2 - x - 6) dx = - \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 6x \right]_{-2}^{3}$

$S = - \left( \left(\frac{3^3}{3} - \frac{3^2}{2} - 6 \cdot 3\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} - 6(-2)\right) \right)$

$S = - \left( \left(9 - \frac{9}{2} - 18\right) - \left(-\frac{8}{3} - 2 + 12\right) \right) = - \left( \left(-9 - \frac{9}{2}\right) - \left(-\frac{8}{3} + 10\right) \right)$

$S = - \left( -\frac{27}{2} - \frac{22}{3} \right) = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81 + 44}{6} = \frac{125}{6}$.

Ответ: $\frac{125}{6}$.

4)

Фигура ограничена параболой $y = x^2 - 5x + 4$ и осью абсцисс ($y=0$).

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем точки пересечения параболы с осью абсцисс, решив уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$:

По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Криволинейная трапеция ограничена дугой параболы и отрезком оси OX от $x=1$ до $x=4$. На этом промежутке парабола находится ниже оси абсцисс ($y \le 0$), поэтому для вычисления площади необходимо взять интеграл с противоположным знаком.

$S = \int_{1}^{4} |x^2 - 5x + 4| dx = -\int_{1}^{4} (x^2 - 5x + 4) dx = - \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 4x \right]_{1}^{4}$

$S = - \left( \left(\frac{4^3}{3} - \frac{5 \cdot 4^2}{2} + 4 \cdot 4\right) - \left(\frac{1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 4 \cdot 1\right) \right)$

$S = - \left( \left(\frac{64}{3} - 40 + 16\right) - \left(\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4\right) \right) = - \left( \left(\frac{64}{3} - 24\right) - \left(\frac{2-15+24}{6}\right) \right)$

$S = - \left( \frac{64 - 72}{3} - \frac{11}{6} \right) = - \left( -\frac{8}{3} - \frac{11}{6} \right) = - \left( -\frac{16}{6} - \frac{11}{6} \right) = - \left( -\frac{27}{6} \right) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$.